УТС_5 (Лекционный курс)

7

5. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ (САР)

5.1. Главная передаточная функция. Передаточные функции по возмущающему воздействию и для ошибки (рассогласования)

Используя структурные преобразования (см. раздел 4), структурную схему практически любой линейной или линеаризованной САР (САУ) можно привести к виду:

Рис. 5.1

x (t) X (s) x (t) - управляющее воздействие;

y (t) .  Y (s) f (t) – возмущающее воздействие;

f (t)  F (s) y (t) – регулируемая величина (выходное воздействие).

 (t)  E (s)

Определение. Если единичная обратная связь охватывает все элементы (звенья) САР – она называется главной.

Если главная обратная связь отсутствует - САР считается разомкнутой.

Передаточная функция W(s) может быть любой сложности (т.е. содержать местные обратные связи, параллельные и последовательные цепи и т.д.).

Возмущающих воздействий может быть несколько и приложены они могут быть в любом месте структурной схемы.

Передаточную функцию W(s), которую в Теории Управления называют передаточной функцией разомкнутой САР, будем представлять в следующем виде (для единообразия):

(5.1)

где К – общий коэффициент усиления; N(s), L(s) – полиномы по степеням переменной s, причем свободные члены в них равны 1 (единице).

Учитывая, что САР линейна или линеаризована, разделим на структурной схеме каналы прохождения управляющего и возмущающего воздействий  Выделим в отдельное звено (может быть и очень сложное) ту часть системы, через которую проходит возмущающее воздействие f (t)  обозначим ее через M(s)  Структурная схема САР принимает вид:

Рис. 5.2

В Теории Управления используют 3 основных передаточных функций замкнутой САР:

• главная передаточная функция Ф(s);

• передаточная функция по возмущающему воздействию Ф_f (s) ;

• передаточная функция для ошибки (рассогласования )

Рассмотрим более подробно вышеупомянутые передаточные функции.

Главная передаточная функция (передаточная функция по управляющему воздействию)  Дадим математическое определение этой передаточной функции 

Ф (s) = , (5.2)

f(t) = 0

если  выведем формулу для Ф(s) 

x(t )  0

Поскольку главная передаточная функция определена соотношением (5.2) при условии, что возмущающее воздействие f(t) = 0, то  y(t) = y₁(t)  «обойдем» по контуру 

Y(s) = E(s)  W(s) =  X(s) – Y(s)   W(s)   1 + W(s)   Y(s) = W(s) X(s) ; 

Ф(s) = = (5.3)

Примечание. Формула (5.3) совпадает с формулой для передаточной функции цепи с местной единичной обратной связью (см. раздел 4 – «Структурные преобразования»).

Подставляя вместо W(s) ее выражение через полиномы N(s) и L(s) 

Ф(s) = (5.4)

Анализ выражение (5.3) показывает, что свойства главной передаточной функции замкнутой САР однозначно определяются свойствами разомкнутой САР, т.е. через полиномы N(s) и L(s).

Передаточная функция замкнутой САР по внешнему возмущающему воздействию

Дадим математическое определение рассматриваемой передаточной функции 

Ф_f (s) = , (5.5)

Очевидно, что у(t) = y₁(t) + y₂(t) 

Учитывая, что х(t) = 0;  (t) = 0 – y(t) = - y(t);  «обойдем» по контуру:

Y(s) = Y₁(s) +Y₂(s) = E(s) ∙W(s) + M(s) F(s) = W(s) -Y(s) + M(s) F(s) = M(s) F(s) - W(s) Y(s); 

[1 + W(s)]  Y(s) = M(s)  F(s);  Ф_f (s) = 

Ф_f (s) = = , (5.6)

г де вид полинома R(s) - зависит от места приложения внешнего возмущающего воздействия;

Внимание. Формулы (5.4) и (5.6) имеют общие знаменатели, а именно: D(s) = L(s) + K N(s) !!!

Передаточная функция замкнутой САР для ошибки (рассогласования)

Данная передаточная функция определяется следующим выражением:

Ф_ (s) = , (5.7)

Сделаем вывод соответствующих формул, выполнив «обход» по контуру 

E(s) = X(s) - Y(s) = X(s) - E(s)W(s);  [1 + W(s)]  E(s) = X(s); 

Ф_ (s) = = , т.к. Ф(s) = . (5.8)

Подставляя в формулу (5.8) значение W(s) через полиномы N(s) и L(s), имеем 

Ф_ (s) = . (5.9)

Опять замечаем, что знаменатель передаточной функции Ф_ (s) равен полиному D(s)  следовательно, характерным признаком передаточных функций замкнутой САР является общность знаменателей ! ! !.

В Теории Управления выражение D(s) = L(s) + K∙ N(s) имеет «собственное» название: характеристический полином замкнутой САР.

Если на САР воздействует одновременно два воздействия: x(t) и f(t), то 

Y(s) = Ф(s)X(s) + Ф_f (s)  F(s)  но об этом в следующем подразделе...

1. Уравнения динамики замкнутой САР.

Как указывалось в подразделе 5.1, любую замкнутую САР можно привести к виду :

f (t)

M (s)

F (s)

x (t)  (t) y ₂ (t)

W (s) + y (t)

X (t) E (t) y ₁ (t) Y (s)

Выведены соотношения для 3-х основных передаточных функций замкнутой САР 

Ф(s), Ф_f (s), Ф_(s)  если на САР одновременно воздействуют управляющее воздействие (x(t)) и возмущающее воздействие ( f(t) ), 

Y (s) = + ( 5.2.1 )

Y _x(s) Y _f (s)

Подставляя значения Ф (s) и (s) через полиномы N(s) и L(s) разомкнутой САР 

Y(s) = ,

где D(s) = L(s) + KN(s) - характеристический полином 

D(s)Y(s) = KN(s)  X(s) +R(s)  F(s) ( 5.2.2 )

динамическое уравнение замкнутой САР в изображениях.

Переходя к оригиналам 

D(p) y(t) = NN(p) x(t) + R(p) f(t) - ( 5.2.3 )

символическая форма записи обыкновенного дифференциального уравнения замкнутой САР.

Решение уравнения ( 5.2.3 ) – обычный алгоритм 

y (t) = y _соб (t) + y _вын (t),

где y_соб(t) - решение однородного дифференциального уравнения  D(p) y(t) = 0;

y_вын(t) – вынужденная часть решения (частное решение), определяемая правой частью уравнения ( 5.2.3 ).

Решения однородного уравнения замкнутой САР:

D(p) y(t) = 0 :  a _n  y ^{( n )} + a _n-1  y ^{( n-1 )} + …+ a ₁  y ¹ + a ₀  y = 0 

записываем соответствующее характеристическое уравнение:

D() = 0  a _n   ⁿ + a _{n- i}   ^{n - 1} + …+ a ₁   + a ₀ = 0 

находим корни степенного уравнения   _j 

Y_соб(t) = _j  e ^j ,

если все корни уравнения разные.

Если есть совпадающие корни характеристического уравнения, то формула для y_соб (t) изменится (см .ранее).

Обычно y_вын (t) находят по виду правой части уравнения (5.2.3) или, используя другие методы ( например, метод вариаций постоянных ).

Необходимо отметить, что порядок дифференциального уравнения (5.2.3) равен «n», т.е. такой же, как и у разомкнутой САР 

L (p) y (t) = K  N(p) x(t)

если нет возмущающего воздействия, т.к. порядок дифференциального оператора L(p) обычно значительно выше, чем N(p).

По аналогии с выводом уравнения (5.2.3) можно получить уравнение динамики для рассогласования (t) 

E (s) = Ф _ (s)  X (s) - Ф _f (s)  F (s) ( 5.2.4 )

 подставляя значения Ф_(s), Ф_f(s) 

E(s) = 

D(s)  E(s) = L(s)  X(s) – R(s) F(s) (5.2.5)

- уравнение динамики замкнутой САР для рассогласования (ошибки) при наличии управляющего и возмущающего воздействий.

Особенностью данного уравнения (5.2.5) является то, что левая часть его практически совпадает с левой частью (5.2.2), в то время, как порядок правой части заметно выше , т.к. порядок многочленов D (s) и L (s) - одинаков.

Это означает, что внешние воздействия x(t) и f(t) влияют на (t) более сильным образом . 

D(p) (t) = L(p) x(t) – R(p) f(t) ( 5.2.6 )

- дифференциальное уравнение замкнутой САР для ошибки.

Способы решения уравнения ( 5.2.6 ) такие же, как и для уравнения ( 5.2.3 ) .

5.3 Частотные характеристики замкнутой САР.

Наибольшее распространение при анализе замкнутых САР имеет АФЧХ замкнутой САР по управляющему воздействию 

Ф(i) = Ф(s)_{s = iw} = , ( 5.3.1 )

где W(i ) = .

Учитывая, что W(i) = u() + i  () - комплексное число, по аналогии имеем:

Ф (i) = P () + i  Q () , ( 5.3.2 )

где P() = Re[ Ф(i) ] и Q() = Im[Ф(i)] .

P () Q ()

На этих рисунках представлен «примерный» вид зависимостей P ()и Q() для «какой-то» замкнутой САР  причем

P() - четная функция, т.е. P() = P(-); Q() - нечетная функция, т.е. Q() = -Q(-).

Если известны частотные свойства разомкнутой САР, то можно определить частотные свойства замкнутой САР  воспользуемся показательной формой для АФЧХ 

W (i) = А () е ^{i ()} ,

где А() - амплитуда (модуль) и () – сдвиг фазы (фаза).

Подставляя это в (5.3.1), имеем

Ф(i) = А_замк()  е ^{I 3()} = 

, ( 5.3.3 )

учитывая, что е ^{– i} = cos() - isin() 

. ( 5.3.4 )

Приравнивая чисто вещественные и чисто мнимые части, имеем 

( 1 ) ( 5.3.5 )

( 2 ) .

Задачей преобразований является  найти:

А₃() = f₁[ A(), () ]; ₃() = f₂[ A(), () ] 

Разделив (2) на (1)  tg₃() = 

_{3амкнутой}() = arctg , ( 5.3.6 )

где j – определяется из графика Ф(i) .

Процедура получения выражения для А₃() – сложнее  возведем оба уравнения системы (5.3.5) в квадрат 

;

;

• складывая эти уравнения 



А₃() = ; ( 5.3.7 )

Аналогичным образом можно выразить, например, P() и Q() - характеристики замкнутой САР через u() и () - характеристики разомкнутой САР  существуют номограммы Солодовникова, Никольса для определения частотных свойств замкнутой САР  они называются диаграммами замыкания, но в настоящее время благодаря достижениям вычислительной техники – компьютеров, эти диаграммы практически полностью потеряли свою актуальность.