УТС_31_34 (Лекционный курс), страница 2

Уравнение динамики каждого звена имеет вид: y(t) = k∙x(t) – т.е. уравнение не является дифференциальным, следовательно, данное звено является безинерционным.

Переходя к изображениям => x(t) X(s); y(t) Y(s) => получаем =>

Y(s) = k∙X(s) – уравнение динамики звена в изображениях.

– Передаточная функция идеального усилительного звена.

АФЧХ =>W(iω) =W(s)_│s=iω = K => не зависит от “ω”

Годограф АФЧХ “вырождается” в точку => U(ω) =K; V(ω) =0;

A(ω) ≡ mod W(iω) =│W(iω)│=K => Lm(ω) = 20lg A(ω) = 20lg K; =>

φ(ω) = const =0 => т.е. фазового сдвига нет.

=> данное звено является безинерционным чисто усилительным звеном.

Найдем весовую w(t) и переходную h(t) функции звена:

=>

В самом деле: => w(t) = Z ^-1[W(s)] = Z ^-1[K] = K∙ Z ^-1[1] = K∙δ(t) =>

h(t) = Z ^-1[H(s)] = Z ^-1[ ] = Z ^-1[K/s] = K∙Z ^-1[1/s]

h(t) = K∙1(t) =>

3.2.2. Идеальное дифференцирующее звено

=> Уравнение динамики звена имеет вид: y(t) = K∙τ∙x’(t),

где τ – постоянная времени.

Переходя к изображениям => x(t) X(s); x’(t) s∙X(s); y(t) Y(s) =>

Y(s) = K∙τ∙s∙X(s) – уравнение динамики звена в изображениях =>

W(s) = – передаточная функция идеального дифференцирующего звена

АФЧХ => W(iω) = W(s)_│s=iω = i∙ K∙τ∙ω => U(ω) = 0; V(ω) = K∙τ∙ω;

A(ω) = mod W(iω) = |W(iω)| = K∙τ∙ω => φ(ω) = const =

Графики годографа АФЧХ, A(ω) и φ(ω) имеют вид:

ЛАХ  Lm(ω) = 20lg A(ω) = 20lg K + 20lg τ∙ω =>

=> данное звено обеспечивает опережение по фазе на π/2.

Чем выше частота единичного гармонического сигнала на входе в звено, тем выше амплитуда выходного сигнала в установившемся режиме.

Найдем весовую и переходную функции звена =>

w(t) = Z ^-1[ ] = Z ^-1[K∙τ∙s] = [K∙τ∙ Z ^-1[1]] = K∙τ ∙δ(t) =>

w(t) = K∙τ ∙δ’(t) =>

Учитывая, что δ(t) «утрировано» А весовая функция пропорциональна

имеет вид => см. ниже  => производной от δ(t) => см. ниже 

h(t) = Z ^-1[H(s)] =Z ^-1[ ] = Z ^-1[K∙τ ∙s/s] = K∙τ ∙δ(t)

h(t) = K∙τ ∙δ(t) =>

=>

Иногда ИДЗ представляется в виде W(s) = τ ∙s или W(s) = K∙s. В последнем варианте коэффициент К имеет смысл постоянной времени.

3.2.3. Идеальное интегрирующее звено

Уравнение динамики такого звена имеет вид:

=> в изображениях => – уравнение динамики в изображениях => – передаточная функция идеального интегрирующего звена.

АФЧХ => W(iω) = W(s)_│s=iω = K /i∙T∙ω => W(iω) = K/i∙T∙ω => умножая на i =>

W(iω) = - i∙K/ T∙ω => U(ω) = 0; V(ω) = - K/T∙ω; => Годограф АФЧХ имеет вид:

=>

=> т.е. данное звено всегда дает отставание по фазе на угол .

см. ниже  => Lm(ω) = 20lg A(ω) = 20lgK– 20lg T∙ω => см. ниже 

Найдем w(t) и h(t) =>

h(t) = Z ^-1[H(s)] = Z ^-1[ ] = Z ^-1[1/s²] = (K/T) ∙t =>

h(t) = (K/T)∙t => см. ниже 

т.к. w(t) = h’(t) => w(t) = ,

где множитель 1(t) обеспечивает равенство нулю w(t) при t ≤ 0.

Примерами идеального усилительного звена можно считать: широкополосный электронный усилитель (приближенно); механический редуктор без учета инерционности и нелинейных эффектов; жесткую механическую муфту и т.д.

Примером идеального дифференцирующего звена можно считать тахогенератор =>

, где u(t) – напряжение на клеммах тахогенератора; φ(t) – угол поворота якоря (ротора) тахогенератора.

Примером идеального интегрирующего звена можно считать большинство электродвигателей (без учета инерционности якоря), где входным воздействием считать напряжение в обмотке возбудителя (двигателем постоянного тока), а выходным воздействием – угол поворота выходного вала.

где E(t) – напряжение в обмотке возбуждения (или ток); φ(t) – угол поворота выходного вала электродвигателя (ЭД).

3.3. Апериодическое звено 1 – го порядка (инерционное звено)

Вывод свойств (характеристик) апериодического звена сделаем на примере фрагмента (части) ядерного, а именно – входной камеры смешения.

Сделаем следующие допущения:

1. расход теплоносителя постоянен => G = const;

2. теплоемкость теплоносителя = const = Cp;

3. входящий в камеру смешения теплоноситель полностью перемешивается в камере смешения, т.е. температура жидкости, поступающий в каждый тепловыделяющий канал одинакова;

4. теплообмен камеры смешения с окружающей средой пренебрежимо мал.

Уравнение теплового баланса

(3.3.1)

где ρ – плотность теплоносителя,

Ср – удельная теплоемкость,

V – объем камеры смешения

G – расход теплоносителя,

Твх(t), Твых(t) – температура теплоносителя на входе и выходе, соответственно.

Т(t) – температура (перемешанного) теплоносителя в камере смешения => T(t) ≡ Tвых(t)

Условие стационара соответствуют приравниванию нулю левой части уравнения

= нулю => Tвх(0) = Tвых(0) = T₀ (т.к. нет теплообмена). (3.3.2)

Введем новые переменные:

вх =

= вых =

Подставляя эти соотношения в (3.3.1), получаем:

Сокращая на Т₀ и Ср

(3.3.3)

τ – постоянная времени

– аналог y’(t);

– аналог y(t);

1 – аналог К;

– аналог x(t).

Таким образом получили линейное дифференциальное уравнение, причем решенные и - нормализованные, что обеспечивает равенство их нулю при t ≤ 0 =>

Уравнение (3.3.3) соответствует типовому апериодическому звену первого порядка:

В общем случае уравнение динамики апериодического звена 1-го порядка имеет вид:

уравнение динамики в виде ОДУ (3.3.4)

Если начальные условия нулевые, то y(t) Y(s);

y’(t) s·Y(s); =>

x(t) X(s);

Уравнение динамики в изображениях => [T·s+1] ·Y(s) = K·X(s) (3.3.5)

Передаточная функция апериодического звена 1 - го порядка: (3.3.6)

Найдем выражение для АФЧХ =>

s = i∙ω => W(iω) = W(s)│_s=iω = (3.3.7)

умножим на комплексно – сопряженное значение (1 – i∙T∙ω) =>

=>

анализируя поведение u(ω) и v(ω) =>

Подставляя в формулы (3.3.8) различные значения частоты ω найдем соответствующее значение u(ω) и v(ω) => построим эти вектора на комплексной плоскости:

Анализ показывает, что годограф АФЧХ — полукруг радиусом = K =>

φ₃ = φ(ω₃) = - , причем “легко видеть”, что ω₃ = .

Из формулы (3.3.7)

(3.3.9)

Учитывая, что годограф АФЧХ находится в IV-ой квадранте, то => (3.3.10)

ЛАХ => Lm(ω) = 20lg A(ω) = 20lgK – 20lg =>

Lm(ω) =20lgK – 20lg (3.3.11)

Анализируя частотные свойства данного звена =>

1. При ω << свойства звена приблизительно совпадают со свойствами идеального усилительного звена, т.е. W(iω) ≈ K => W(s) ≈ K.

2. При ω >> свойства звена приблизительно совпадают со свойствами идеального интегрирующего звена, т.е. W(iω) ≈ => W(s) ≈ .

3. При ω ≈ => на свойства звена оказывают примерно равное “влияние” свойства идеального усилительного и идеального интегрирующего звена.

Принято называть частоту, при которой происходит “излом” ЛАХ (ω_сопр = ) =>

− сопрягающей частотой или => ω_сопр = => причем не трудно показать, что при ω_сопр = величина амплитуды А(ω_сопр) меньше А(0) = К в раз => А(ω_сопр) = .

Частотой среза ω_ср называют такое значение частоты, при которой модуль (амплитуда) выходного сигнала (воздействия) = 1,0 =>

А(ω_ср) = (если К>>1)

=> ω_ср= => если K>>1

ω_ср= => если K≥1

Если K < 1, то частота среза не существует!!!

Найдем переходную функцию звена (реакция на единичное ступенчатое воздействие)

=> см. пример в разделе 2 =>

=> дифференцируя по времени => получаем весовую функцию ω(t)

=> множитель 1(t) обеспечивает = 0 при t ≤ 0

Рис. Переходная функция Рис. Весовая функция

Постоянная времени Т характеризует инерционность переходных процессов в звене => чем больше Т, тем инерционнее звено (т.е. медленнее идет переходной процесс).

Примерами апериодического звена 1- го порядка являются:

1) Пассивные R−L или R−C цепочки =>

2) упрощенная модель гидротурбины, где x(t) = приводной момент; y(t) − скорость вращения ротора турбины.

3) электродвигатель (постоянного тока или асинхронный) с учетом инерционности якоря (ротора), где x(t) − например, напряжение в обмотке возбуждения, а y(t) − скорость вращения якоря (ротора) => выходного вала;

4) тепловые датчики, например, термопара, где: x(t) − температура одного (“горячего”) спая, а y(t) − термо Э.Д.С.

5) выходная камера смешения в реакторе (приближенно)

6) различные элементы реактора, описываемые в рамках точеных моделей (например, активная зона или ядерное горючее) с использованием закона Фурье:

,

где T(t) − температура топлива;