УТС_31_34 (Лекционный курс)

18

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (РЕГУЛИРОВАНИЯ)

3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ

Определение: Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена (системы) на единичное синусоидальное воздействие в установившемся режиме, т.е. в режиме вынужденных гармонических колебаний звена (системы).

;

φ - сдвиг фазы (нередко называют - фаза);

А - амплитуда;

А ≡А(ω); φ ≡φ(ω) => т.е. амплитуда на выходе звена(системы) и сдвиг фазы зависят от частоты входного воздействия x(t).

Используем показательную форму записи единичного гармонического воздействия

=> sin ωt => e^iωt

=> (3.1.1)

Предположим, что уравнение динамики звена (системы) имеет следующий вид:

. (3.1.2)

В изображениях => 

. (3.1.3)

=> Выразим x, x’, y, y’, y” =>

x = e^i∙ω∙t; x’ = i∙ω∙ e^i∙ω∙t

=> Подставляя эти соотношения в (3.1.1) =>

=>

=> т.к. А≡А(ω); φ=φ(ω) =>

(3.1.4)

_{s = iω (см. формулу (3.1.3))}

_{W(iω) =W(s)│s=iω}

_│s=iω (3.1.5)

_W(iω)- Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ)

_{Иногда W(iω) называют частотной передаточной функцией.}

_{Необходимо подчеркнуть, что W(iω)- комплексная величина.}

Модуль АФЧХ =mod W(iω) =│W(iω)│≡ A(ω) – модуль (амплитуда).

(3.1.6)

Сдвиг фазы ≡ arg W(iω)= φ(ω) =>

φ(ω)=arg W(iω) (3.1.7)

Обычно АФЧХ (W(iω)) изображается на комплексной плоскости. Формулы (3.1.6) и (3.1.7) позволяют изобразить W(iω) в полярных координатах (r,φ).

Однако можно изображать и в традиционных декартовых координатах =>

(3.1.8)

Если использовать для представления W(s) форму W(s) = K·N(s)/L(s), где L(s)- полиномы по степеням “s”, причем свободные члены =1; К – общий коэффициент усиления звена (системы) =>

_W(iω)= => (3.1.9)

Сдвиг фазы φ(ω) можно определить по виду многочленов N(iω) и L(iω) (см. формулу (3.1.9)) => т.е. как разность фаз (аргументов) числителя и знаменателя:

φ(ω)=arg N(iω) – arg L(iω) (3.1.10)

Построим АФЧХ для “абстрактного” звена (системы) с передаточной функцией W(s) => _W(iω)=W(s)_│s=iω = => подставляя в формулу различные значения ω, получаем набор векторов

Из рисунка видно, что и наоборот =>

Эта формула справедлива только для векторов, соответствующих частотам ω₁, ω₂, ω₃, ω₄.

Для вектора, соответствующего частоте ω₅, формула определения φ(ω₅) = φ₅ =>

φ(ω₅) =-π+ arctg в общем случае (3.1.11)

где j = 0, 2, 4…, если вектор в I и IV квадрантах;

j = 1, 3, 5…, если вектор во II или III четверти(квадранте).

Поскольку обычно степень полинома L(s) выше, чем полинома N(s), то с увеличением частоты на входе в звено (в систему) сдвиг фазы обычно отрицателен, т.е. сигнал на выходе звена отстает по фазе от входного сигнала. Обычно при ω→ ∞ величина амплитуды на выходе звена → 0 => lim A(ω) → 0

_W(iω)- при замене ω на –ω имеет зеркальное изображение.

Анализируя годографы АФЧХ при ω > 0 (—) и при ω < 0 (- - -) =>

u(ω) = u(-ω) – четная функция => симметрия относительно оси ординат

v(ω) = - v(-ω) – нечетная функция => центральная симметрия относительно начала координат.

“зеркальная” относительно оси ординат

центральная симметрия относительно начала координат.

Кроме анализа свойств звена (системы) по годографу АФЧХ широкое распространение имеют логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) и фазочастотная характеристика (ФЧХ). =>

ЛАХ <=> Lm(ω)=20lg A(ω) Данная формула получена из _W(iω) =>

ln W(iω) =20lg A(ω) =ln[A(ω)∙e^i·φ(ω) ] = ln A(ω) + iφ(ω)

Поскольку зачастую удобнее использовать десятичные логарифмы (lg), чем натуральные (ln), в теории управления (также и в Акустике) значительно чаще используется специальная единица – децибел (1/10 часть Бела)

+1Бел – единица, характеризующая увеличение мощности в 10 раз.

+1дБ (децибел) – соответствует увеличению мощности в раз.

В формуле Lm(ω)=20lg A(ω) величина Lm(ω) измеряется также в децибелах, а множитель 20 означает => A(ω) – амплитуда (линейная величина), а мощность (квадратичная величина) => например, напряжение в сети измеряется в Вольтах, а мощность (N=u²/R) – пропорциональна квадрату напряжения => поэтому => в формуле для Lm(ω) стоит множитель 20 (чтобы привести ЛАХ (Lm(ω)) к традиционной мощностной характеристике)

Если Lm(ω₁) больше Lm(ω₂) на 20 дБ, то это означает, что Lm(ω₁) - Lm(ω₂) = 20 дБ, или А(ω₁)/ А(ω₂) =10.

Окончательно: Lm(ω)=20lg │W(iω)│= 20lg A(ω)

Из этого следует, что +1 децибел (+1 дБ) соответствует увеличению амплитуды в раз (очень малая величина); -1 дБ – уменьшение амплитуды в раз.

Графики A(ω) и φ(ω) имеют вид:

Учитывая, что “ω” обычно изменяется на порядки и значение A(ω) – также на порядки, график Lm(ω) строится, фактически, в логарифмических координатах, т.е. Lm(ω) = Lm(lg ω) => например =>

Наклон (– 40 дБ/дек) => уменьшение амплитуды в 100раз при увеличении частоты в 10раз.

Рис. ЛАХ и ФЧХ звена САР.

Рассмотренные характеристики Lm(ω) =ЛАХ и ФЧХ имеют широкое распространение при анализе динамических свойств звена (системы), например, при анализе устойчивости САР (см. раздел “Устойчивость систем автоматического управления”).

Естественно, чем выше порядок системы (звена), тем более сложный вид имеют ЛАХ и ФЧХ (обычно) => например

3.2. Типовые звенья систем автоматического управления (регулирования). Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья.

Понятие “типовые звенья” в теории управления техническими системами, в основном, связано с описанием САУ (САР) в переменных “вход – выход”, т.е. описание систем в передаточных функциях. Любую линейную САУ (САР) или линеаризованную САР можно структурно “расчленить” на простейшие элементы (звенья), соединенные между собой соответствующими последовательными, параллельными связями, местными и локальными обратными связями, сумматорами, сравнивающими устройствами и т.д.

Достигнуто общепринятое “соглашение”, что наиболее удобно “расчленять” структурную схему САР на звенья 1-го и 2-го порядков => принято называть такие простейшие звенья типовыми.

С другой стороны реальная линеаризованная (линейная) система состоит из набора отдельных узлов и агрегатов, соединенных соответствующими связями, причем порядок уравнений динамики вышеуказанных узлов и агрегатов может быть и выше второго. В этом случае звенья (узлы и агрегаты) САР можно классифицировать по их свойствам => различают 3 типа звеньев:

• позиционные; Существуют еще особые звенья, которые

• интегрирующие; будут рассмотрены позднее.

• дифференцирующие.

Учитывая, что передаточная функция линейного (линеаризованного) может быть записана как _W(s) = , (где N(s), L(s) – полиномы по степеням “s”, причем коэффициенты при низшей степени “s” в полиномах N(s), L(s) равны 1), классификацию на типы звеньев можно объяснить видом полиномов N(s); L(s) или (что эквивалентно) видом коэффициентов в соответствующих уравнениях динамики звена.

Позиционным звеном считают звено, полиномы N(s) и L(s) содержат свободные членные (равные 1).

Например, или в уравнениях динамики =>

=> 2y”’(t) + 5y”(t) + y’(t) + y(t) = x”(t) + 3x’(t) + x(t)

Из типовых звеньев (1-ого и 2-ого порядка) к позиционным звеньям относятся: идеальное усилительное звено, апериодические звенья 1-го и 2-го порядка, колебательное звено и форсирующее звено.

Дифференцирующим звеном считается звено, в котором полином L(s) содержит свободный член (равный 1), а полином N(s) не содержит свободного члена (b₀=0).

Например: 2y”’(t) + 5y”(t) + y’(t) + y(t) = x”(t) + 3x’(t)

Из типовых звеньев к дифференцирующим звеньям относятся идеальное дифференцирующее звено, инерционно – дифференцирующее звено.

Интегрирующим звеном считается звено, в котором полином N(s) содержит свободный член (b₀=1), а полином L(s), не содержит свободного члена (a₀=0).

Например:

2y”’(t) + 5y”(t) + y’(t) =x”(t) + 3x’(t) + x(t)

Из типовых звеньев к интегрирующим звеньям относятся идеальное интегрирующее звено, инерционно – интегрирующее звено.

3.2.1. Идеальное усилительное звено