Стр. 1-11 Лекция 1. Моделирование и исследование робототехнических систем. Автор: Котов Е.А.

Основные понятия и определения методов (математического) моделирования (РТС)

Классификация методов моделирования

Задачи:

1. Создание таких систем (анализ работоспособности)

2. Эксплуатация (выявление неисправностей)

3. Модернизация (отработка новых систем управления, замена приводов и т.д.)

Решение этих задач может быть выполнено методами математического моделирования.

Основная идея моделирования заключается в замене исходных явлений или систем (оригиналов) другими явлениями или системами, называемыми моделями, т.е.:

З адачи, которые необходимо решить на оригинале, решаются на его модели, и результаты переносятся на оригинал (рис. ).

В основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта.

Моделирование относится к приближенным универсальным методам исследования. С помощью этого метода могут быть решены достаточно сложные задачи. Иногда только он и работает. Дает информацию в удобном и наглядном виде.

К недостаткам следует отнести:

1. Приближенность (при математическом моделировании требуется использование численных методов, а это - проблемы точности, устойчивости, сходимости и т.д.).

2. С точки зрения синтеза САУ дает частные решения (например, трудно ответить на вопрос об устойчивости).

В зависимости от физической природы модели моделирование подразделяется на следующие направления:

Приведенная классификация носит частный характер, (применительно к задачам, рассматриваемым в курсе). Более полную классификацию можно найти, например, в [ ], стр.22, для других задач и предметных областей.

• Физическое моделирование: природа оригинала и модели, как правило, одинаковы, например, продувка макета самолета в аэродинамической трубе; имитация работы космонавта с помощью макета станции над водой.

• Математическое моделирование - это процесс установления соответствия между реальными объектами и некоторой математической конструкцией, называемой математической моделью. (Это направление и будет рассмотрено в курсе, применительно для РТС).

• Полунатурное моделирование: модель определяется двумя составными частями (“физическая” + “математическая”). Практически это реализуется сопряжением реальной аппаратуры с вычислительными средствами. Например:

• Робот = система приводов (реальная аппаратура) + манипулятор (“математическая” часть, реализуемая на ЭВМ).

• Летательный аппарат = “корпус” + автомат.

• Статическое моделирование служит для описания подведения объекта в какой-либо момент времени. Очень часто это моделирование используют для получения ответа на поставленный вопрос типа “да”, “нет”, поэтому иногда называют логическим (“событийным”). Например, сможет ли робот “дотянуться” до какого-либо объекта. Возможны ли какие-либо конфликтные ситуации при совместно работе нескольких роботов и т.д.

• При кинематическом моделировании рассматривается поведение (движение) объекта во времени, но без учета причин, вызвавших это движение. Например, исследуются скорости, ускорение движения схвата одного манипулятора в зависимости от скоростей, ускорений движения его звеньев.

• Динамическое моделирование отображает причинно-следственные взаимосвязи в поведении (движении) объекта, т.е. рассматривает не только движение, но и причины, вызвавшие это движение (сила → ускорение, /закон Ньютона/, напряжение → ток, /закон Ома/ и т.д.). Например, рассматриваются процессы прохождения и преобразования сигналов от входных воздействий, поступающих на приводы до поведения всех элементов манипулятора, в том числе и схвата.

• Кинематическое и динамическое моделирование определяют имитационное моделирование, т.е. такое моделирование, при котором временная последовательность событий в модели и в реальном устройстве одинакова. С помощью имитационного моделирования исследуется движение реального объекта, (результаты которого часто представляются с помощью машинной графики).

В зависимости от используемых вычислительных средств различают:

• моделирование на ЦВМ (цифровое моделирование);

• моделирование на АВМ (аналоговое моделирование);

• моделирование на АЦВМ (гибридное моделирование).

Рассмотрим более подробно вопросы математического моделирования.

Общая схема исследований с помощью этого метода может быть представлена следующим образом:

Объект – робототехнические системы и их элементы.

К тем общим задачам, которые были сформулированы выше, следует отнести и более конкретные. Это, в частности:

• Проверка качества работы систем управления, приводов и т.д. Определение запасов устойчивости, качества переходных процессов (времени, перерегулирования).

• Моделирования влияния изменения параметров на качество работы, исследование нештатных ситуаций.

• Исследование надежности систем.

• Моделирование технологических операций: транспортных, сборочных, механообработки и т.д.

• Моделирование работоспособности РТС в условиях ограничений внешней среды.

• Моделирование пропускной способности системы (производительности).

Существуют и другие задачи, не включенные в приведенный выше список.

Математическая модель. В общем случае будем описывать с помощью следующих величин.

U = (u₁, u₂, ...u_m)^т - вектор входных переменных. Сюда входят управляющие сигналы, сигналы, определяемые внешней средой, сигналы, поступающие с других объектов.

Y = (у₁, у₂, ...у_l)^т - вектор выходных координат.

P = (p₁, p₂, ...p_k)^т - вектор параметров.

X = (x₁, x₂, ...x_n)^т – вектор фазовых координат (вектор состояния).

Приведенные выше величины являются в общем случае функциями времени t.

Математическая модель объекта (реальной системы) - конечное подмножество математических зависимостей между составляющими векторов u, y, p, x.

ММ может быть получена теоретическим и эмпирическим путем (в последнем случае по принципу “черного ящика” с использованием теории идентификации).

ММ характеризуется универсальностью, точностью, экономичностью.

Для одной и то же системы может быть разработано несколько моделей в зависимости от поставленных задач. Каждая модель характеризуется своей степенью “детализации”. В связи с этим различают “микро”, “макро” и “мета” модели. Эта классификация носит условный характер, и может быть выполнена по различным критериям. Например, аналитическое исследование п еремещений стержня определяется уравнениями в частных производных, при этом получаются достаточно точные результаты - это модель на “микро” – уровне (При практических исследованиях используют метод конечного элемента). В задачах, где нет необходимости исследования перемещений в каждой точке стержня (например, в механических передачах СУ), а вызывающим интерес является только перемещение конца стержня, можно ограничиться известным соотношением: F=C·ΔХ

Применительно к РТС, например:

• “Микро” - детальное рассмотрение отдельных элементов приводов манипуляторов (усилители, МП, упругие звенья и т.д.) - описано как правило в частных производных.

• “Макро” - модели приводов, манипуляторов, технологических операций и т.д. - описаны в обычных производных.

• “Мета” - рассмотрение распределенной РТС - логическое моделирование - используемый математический аппарат основывается на теории графов (метод конечных автоматов, сети Петри).

/Вопросы моделирования на “макро” уровне будут в основном рассмотрены в одном курсе; на “мета” - в другом/.

Проблемы построения моделей. Определение ее структуры и параметров. Как уже отмечалось, - теория идентификации. Но кроме этого при построении моделей и моделировании используются и другие подходы, основанные, в частности, на понятии аналогии. Это сходство различных объектов по некоторым признакам. Объекты, сходственные по соответствующим признакам, называются аналогами.

Аналоговое моделирование - это замещение оригинала аналогичной моделью, обладающей сходством с оригиналом. По этому принципу моделирования построены аналоговые ЭВМ, где исследование процессов, протекающих в реальных объектах, заменяется исследованием процессов, протекающих в электрических цепях ЭВМ, построенных на операционных усилителях.

Аналогичные модели могут быть построены на основе 4-х полюсников.

Построение ММ и исследование движения многомассовых систем может быть выполнено на основе механической аналогии.

Для САУ модель устойчивости и неустойчивости может быть проиллюстрирована следующим образом:

Моделирование предполагает комплекс средств для работы с ММ с целью получения поставленных в задачах результатов. Определяет последовательность ... Y(t_i) Y(t_i+1) ...

Это: численные методы, алгоритмы, программное обеспечение, методика проведения исследований. Непосредственное получение Y(t).

Математические модели динамических систем

Основными формами математического описания динамических систем являются:

• уравнения состояния;

• передаточные функции (ПФ) для линейных систем;

• графо-аналитическое представление (структурные, функциональные и структурно-функциональные схемы).

Причем, существует определенная взаимосвязь между этими формами представления:

Рассмотрим подробнее каждую из этих форм.

• В виде уравнений состояния:

u, y, t, x - уже введены в рассмотрение.

F; f - вектор функции.

Если система линейна, то она может быть представлена в виде:

А,В,С,Д - матрицы, размерность которых определяется размерностью векторов X,U,Y, зависящие или независящие от t.

Иногда эти матрицы называют следующим образом:

А(nxn) - матрица объекта;

В(nxm) - матрица управления;

С(lxn) - матрица выхода

Д(lxm) - матрица компенсации

n; m; l - размерность вектора состояния, число входов и выходов соответственно.

Построение моделей в данном случае сводится к определению вектор-функций F; f или матриц А, В, С, D.

Моделирование достаточно просто выполняется после выбора из многообразия численных методов наиболее соответствующего поставленным задачам.

• В виде передаточных функций (ПФ) для линейных систем.

Если рассматривается система с одним входом и одним выходом:

W(s) - ПФ, представляемая, как правило, в виде отношения двух полиномов ст “s”.

Если система имеет “m” входов и “l” выходов, то математической моделью не является матричная передаточная функция, каждый элемент который является скалярной величиной, аналогичной предыдущему случаю.