LINALG3 (Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы))
Описание файла
Файл "LINALG3" внутри архива находится в следующих папках: Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы), V782RhwLleN, Linal. Документ из архива "Теория по линейной алгебре (определения, доказательства, формулы)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "LINALG3"
Текст из документа "LINALG3"
25
1.7. Линейные операторы
Определение 1.10 Отображение линейного пространства в линейное пространство называется линейным, если:
Равносильное определение линейного отображения: для любых векторов и любых вещественных образ линейной комбинации
Замечание. Рассматривая отображение (функцию) из линейного пространства в линейное пространство , мы часто будем пользоваться обозначением , обозначая образ вектора в пространстве через (без скобок), или (со скобками).
Из определения сразу следует, что образ нулевого вектора при линейном отображении будет нулевым вектором, так как
(Разумеется, здесь, вообще говоря, речь идет о двух разных, хотя и одинаково обозначаемых нулевых векторах: один берется в пространстве , а другой - в ).
Линейное отображение называют также часто линейным оператором. Про линейный оператор будем говорить, что он действует из пространства в пространство . Если , то соответствующий линейный оператор называют линейным преобразованием (пространства ).
Для оператора мы иногда будем говорить, что есть линейный оператор типа .
Примеры. 1) В пространстве всех геометрических векторов определим отображение проектирования на координатную плоскость :
Линейность данного отображения легко проверяется (она может быть доказана и алгебраически, и чисто геометрически - исходя из свойств проекций).
Это отображение не является линейным при ненулевом векторе , ибо тогда образ нулевого вектора не будет нулевым вектором. Отображение сдвига при будет тождественным преобразованием пространства , которое, очевидно, линейно.
-
Любая матрица определяет линейный оператор, действующий из арифметического пространства в арифметическое пространство : для любого . Линейность следует из свойств операций над матрицами.
4) В пространстве отображение, состоящее в интегрировании функции по данному отрезку, будет линейно в силу свойств линейности определенного интеграла. Заметим, что в данном случае образ
есть функция-константа, значение которой на всем отрезке равно значению указанного интеграла.
5) Рассмотрим множество всех функций, непрерывно дифференцируемых на отрезке (т.е., функций, имеющих на отрезке непрерывную производную) . Нетрудно видеть, что это будет подпространство пространства . Тогда отображение, состоящее в вычислении первой производной функции, будет линейным отображением в (но не будет, конечно, преобразованием пространства , так производная дифференцируемой функции в общем случае не является дифференцируемой).
Определение 1.11 Ядром линейного оператора называется множество всех таких векторов , что .
Ядро оператора обозначается . Таким образом,
Определение 1.12 Образом линейного оператора называется множество всех таких векторов , что существует такой , что .
Образ оператора обозначается . Таким образом,
Итак, ядро линейного оператора - это множество всех векторов, отображаемых в нулевой вектор, а образ линейного оператора - не что иное, как область значений оператора как функции.
Вернемся к приведенным выше примерам.
Ядро оператора проектирования - это множество всех векторов, перпендикулярных координатной плоскости ; образом же этого оператора служат все векторы, параллельные указанной координатной плоскости.
Ядро оператора, задаваемого матрицей, есть множество всех решений однородной линейной системы
тогда как образ этого оператора - это множество всех таких векторов , что система
совместна, то есть (в согласии с теоремой Кронекера-Капелли) таких, что
Ядро оператора интегрирования - это множество всех таких функций , что . В частности, если , то ядро оператора интегрирования включает в себя множество всех нечетных функций. Образ этого оператора состоит из всех функций, постоянных на отрезке.
Ядром оператора дифференцирования служит множество всех функций-констант. Так как всякая непрерывная функция имеет первообразную, то в данном случае образ линейного оператора совпадает со всем пространством .
Важным является следующее утверждение:
Утверждение 1.6 Ядро линейного оператора есть подпространство пространства , а образ указанного оператора есть подпространство пространства
Доказательство. Если , то , откуда . Далее: , т.е. .
Итак, ядро есть подпространство пространства .
Пусть теперь . Это значит, что найдутся такие , что , но тогда , откуда и следует, что . Аналогично доказывается, что .
Определение 1.13 Линейный оператор называется мономорфизмом пространства в пространство , если для каждого существует единственный такой, что .
Мономорфизм называется изоморфизмом пространства на пространство , если .
Из определения 1.13 и утверждения 1.6 сразу следует, что любой мономорфизм можно рассматривать как изоморфизм на .
Утверждение 1.7 Линейный оператор является мономорфизмом тогда и только тогда, когда .
Доказательство. 1) Необходимость. Если мономорфизм, то из равенства следует, что , так как существует только один вектор, отображаемый в нулевой, а образ нулевого вектора есть нулевой вектор.
Утверждение доказано.
Фундаментальная роль понятия изоморфизма выяснится позже, после обсуждения алгебраических действий над линейными операторами.
1.8. Алгебра линейных операторов.
В этом разделе мы рассмотрим алгебраические операции, позволяющие по известным линейным операторам получать новые линейные операторы.
1) Сумма линейных операторов.
Если и - линейные операторы, действующие из пространства в пространство , то однозначно определен линейный оператор , называемый суммой операторов и так, что
Тем самым оператор , как функция, определен стандартно как сумма функций.
-
Умножение линейного оператора на число.
Если - линейный оператор, и - вещественное число, то оператор , называемый результатом умножения на число , определяется так:
Линейность нового оператора также очевидна. Ясно и то, что .
Легко доказать, что операции сложения и умножения на число обладают следующими свойствами:
В записанных выше тождествах суть произвольные линейные операторы, действующие из некоторого линейного пространства в некоторое линейное пространство . Оператор , называемый нулевым оператором, определяется так:
(т.е. этот оператор каждый вектор отображает в нулевой вектор).
Оператор , называемый противоположным к , определен как , т.е.
Через противоположный оператор, как и в случае векторов, определяется разность линейных операторов:
Итак, мы получаем, что множество всех линейных операторов, действующих из в , само является линейным пространством. Это линейное пространство будем обозначать .
В частности, если - какое-то линейное пространство, а - множество вещественных чисел, определенное как одномерное арифметическое векторное пространство, то линейное пространство называется линейным пространством, сопряженным к , и обозначается . Элементы сопряженного пространства называются линейными функционалами, или ковекторами. Позже мы изучим структуру этого пространства (в конечномерном случае) подробнее.
Продолжим рассмотрение операций над линейными операторами.
3) Композиция линейных операторов.
Если и - линейные операторы, то в этом случае (а именно, когда область значений оператора содержится в области определения оператора ) определен оператор , называемый композицией (или произведением) на :
Таким образом, композиция линейных операторов - это обычная композиция функций. Линейность нового оператора легко доказывается.
Пусть - множество всех линейных преобразований некоторого линейного пространства . Тогда для любых операторов (преобразований) из имеют место следующие тождества:
Стандартное доказательство этих тождеств опускается. Можно заметить аналогию приведенных алгебраических законов с алгеброй матриц. Мы увидим, что это не случайно. Заметим также, что тождества (1), (2), (4) имеют место для любых линейных операторов подходящих типов.
4) Обратный линейный оператор.
Пусть - линейный оператор. Если определен такой линейный оператор , что , то он называется обратным к .