113007 (Научно-исследовательская работа школьников в РБ), страница 3

Аналогия есть умозаключение о принадлежности единичному явлению определенного признака на основе сходства этого явления в существенных признаках с другим уже известным единичным явлением. Она рассматривается в качестве разновидности индукции.

Приведем следующий пример умозаключения по аналогии: Для существования живых существ необходимы вода, воздух, соответствующая температура и т.д. На Марсе есть вода, воздух, соответствующая температура и т.д. Следовательно, на Марсе, возможно, существуют живые существа. Поскольку в данном силлогизме содержится ошибка, заключающаяся в том, что среднее понятие не распределено (ложность нераспределенного среднего термина), ценность заключения находится на уровне вероятности. Однако если среднее понятие будет распределенным (то есть, если будут установлены все условия, необходимые для существования живых существ), то и заключение станет определенным.

Другими словами, аналогия - это подобие, сходство предметов или явлений в каких-либо свойствах, признаках, отношениях, причем сами эти предметы, вообще говоря, различны. В математике часто рассматривают умозаключение по аналогии, сходству отдельных свойств (признаков) при сравнении двух множеств (фигур, отношений, объектов и т.д.).

Аналогия весьма доступна и проста как прием рассуждения, но она в первую очередь позволяет выдвинуть гипотезу, которую потом требуется строго доказать.

2.4 Специализация

Специализация есть переход от рассмотрения данного множества предметов к рассмотрению меньшего множества, содержащегося в данном.

Например, мы специализируем, когда переходим от рассмотрения многоугольников к рассмотрению правильных многоугольников, п специализируем еще дальше, когда переходим от правильных многоугольников с п сторонами к правильному, т.е. равностороннему треугольнику.

Эти два последовательных перехода осуществлялись в двух характерно различных направлениях. В первом переходе, от многоугольников к правильным многоугольникам, мы ввели ограничение, именно потребовали, чтобы все стороны и все углы многоугольника были равны. Во втором переходе мы заменили переменный предмет конкретным, поставили 3 вместо переменного целого числа п.

Очень часто мы производим специализацию, переходя от целого класса предметов к одному предмету, содержащемуся в этом классе. Например, когда мы хотим проверить некоторое общее утверждение относительно простых чисел, мы выбираем какое-нибудь простое число, скажем 17, и исследуем, справедливо ли это общее утверждение или нет именно для этого числа 17.

3. Пример задачи исследовательского характера для школьников

3.1 Пример 1: неприводимые многочлены

Многочлен h (x) с целыми коэффициентами положительной степени называется неприводимым, если он не представим в виде произведения двух многочленов положительных степеней с целыми коэффициентами.

Пусть g (x) = (x-a₁) … (x-a_n), где a₁,…,a_n - различные целые числа.

Пусть f (x) =mx+1, где m - целое число. Найдите все значения m, для которых многочлен f (g (x)) неприводим.

Пусть f (x) =mx²+1, где m - натуральное число. Докажите, что многочлен f (g (x)) неприводим.

Исследуйте неприводимость многочленов вида f (g (x)) для других неприводимых многочленов f (x) (например, для неприводимых квадратичных многочленов ax²+bx+1).

Решение.

1. Предположим, что многочлен f (g (x)) приводим, то есть для некоторых двух многочленов f₁ (x) и f₂ (x) положительной степени с целыми коэффициентами

m (x-a₁) … (x-a_n) +1 = f1 (x) f₂ (x).

Это верно для всех x, в том числе и для x=a₁, …, x=a_n. Получаем,

f₁ (a₁) f₂ (a₁) =1,…,

f₁ (a_n) f₂ (a_n) =1.

Рассмотрим первое из этих равенств. Оно возможно для целого a₁ и многочленов f₁ (x), f₂ (x) с целыми коэффициентами только если f₁ (a₁) =f₂ (a₁) =1 или f₁ (a₁) =f₂ (a₁) =-1. Аналогично и для остальных равенств. Пусть в i случаях будет 1, в j будет - 1. Тогда i+j=n.

Покажем, что n - четное и i = j = . Допустим, что i> (т.е. j=n-i< ). Тогда многочлены f₁ (x) - 1 и f₂ (x) - 1 имеют не менее i корней, а, следовательно, их степень больше . Поэтому и степени многочленов f₁ (x) и f₂ (x) соответственно больше . Таким образом степень f₁ (x) f₂ (x) = m (x-a₁) … (x-a_n) +1 больше n. Противоречие показывает, что допущенное не верно. Аналогично, j не больше .

Два числа не превосходящие в сумме дают n. Значит, i = j = и n - четное число. При этом степени f₁ (x) и f₂ (x) также равны i= , иначе, рассуждая как и выше, получим противоречие.

Не ограничивая общности, можно считать, что f₁ (a₁) =…=f₁ (a_i) =1, f₁ (a_i+1) =…=f₁ (a_n) =-1. (При перестановке местами a_k и a_l условие задачи не изменится, поэтому можно считать, что изначально их порядок такой, что f₁ (x) обращается в 1 в первых i). Тогда f₁ (x) = t₁ (x-a₁) … … (x-a_i) +1 = t₂ (x-a_i+1) … (x-a_n) -1. Аналогично, f₂ (x) = d₁ (x-a₁) … (x-a_i) +1 = d₂ (x-a_i+1) … (x-a_n) -1.

Рассмотрим равенства

m (x-a₁) … (x-a_n) +1 = f₁ (x) f₂ (x) = (t₁ (x-a₁) … (x-a_i) +1) (d₁ (x-a₁) … (x-a_i) +1);

m (x-a₁) … (x-a_n) +1 = f₁ (x) f₂ (x) = (t₁ (x-a₁) … (x-a_i) +1) (d₂ (x-a_i+1) … (x-a_n) -1).

Приравнивая коэффициенты при старшей степени (xⁿ) левой и правой части, получаем m = t₁d₁ и m = t₁d₂. Отсюда d₁ = d₂. Аналогично получаем, что t₁ = t₂. Таким образом, получаем, что m = td для некоторых целых t и d, причем:

f₁ (x) = t (x-a₁) … (x-a_i) +1 = t (x-a_i+1) … (x-a_n) -1

f₂ (x) = d (x-a₁) … (x-a_i) +1 = d (x-a_i+1) … (x-a_n) -1.

Вычтем из первого равенства второе

t (x-a₁) … (x-a_i) - d (x-a₁) … (x-a_i) = t (x-a_i+1) … (x-a_n) - d (x-a_i+1) … (x-a_n),

откуда, преобразовывая, получим

t ( (x-a₁) … (x-a_i) - (x-a_i+1) … (x-a_n)) = d ( (x-a₁) … (x-a_i) - (x-a_i+1) … (x-a_n)).

Это равенство выполнено для всех x, поэтому можно считать, что

(x-a₁) … (x-a_i) - (x-a_i+1) … (x-a_n) 0, и t = d.

Таким образом,

f₁ (x) = f₂ (x) = t (x-a₁) … (x-a_i) +1 = t (x-a_i+1) … (x-a_n) -1.

Применим к этому равенству обобщенную теорему Виета и рассмотрим свободные члены

(-1) ⁱta₁…a_i+1 = (-1) ⁱta_i+1…a_n-1.

Перенесем слагаемые с t влево, без t вправо. Вынесем t за скобки

t (a₁…a_i - a_i+1…a_n) = 2.

Выражение в скобках - целое число. Поэтому t может принимать только 4 различные значения: 1 и 2. Но как показано выше, m = tt. Следовательно только для двух целых значений m многочлен f (g (x)) приводим. Это m = 1 и m = 4.

Приведем примеры приводимых многочленов для этих m.

(x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + 1 = ( (x-1) (x-4) +1) ( (x-2) (x-3) -1)

Действительно, ( (x-1) (x-4) +1) ( (x-2) (x-3) -1) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) - x²+5x - 4 + x² - 5x+6-1= = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + 1.

Для m = 4

4x (x-1) +1 = 4x² - 4x + 1 = (2x-1) (2x-1)

Ответ: f (g (x)) неприводим при всех целых m{1; 4}.

2. Допустим, что m (x-a₁) ²… (x-a_n) ²+1 приводим, тогда

m (x-a₁) ²… (x-a_n) ²+1 = f₁ (x) f₂ (x).

Как и выше, f₁ (x) = f₂ (x) =1 либо f₁ (x) = f₂ (x) = - 1 для всех x из {a₁; …; a_n}. Если f₁ (x) принимает значения и 1 и - 1, то в силу непрерывности многочлена, f₁ (x) = 0 для некоторого x. Но тогда для этого x выполнено равенство

m (x-a₁) ²… (x-a_n) ²+1 = f₁ (x) f₂ (x) = 0,

чего быть не может ни при одном натуральном m. Поэтому для определенности будем считать, что f₁ (a_i) = f₂ (a_i) =1 для всех i от 1 до n. (В случае, когда, f₁ (a_i) = f₂ (a_i) =-1 для всех i от 1 до n доказательство проводится аналогично) Как и в пункте 1, получаем

f₁ (x) = t (x-a₁) … (x-a_n) +1;

f₂ (x) = d (x-a₁) … (x-a_n) +1.

Отсюда,

m (x-a₁) ²… (x-a_n) ²+1 = f₁ (x) f₂ (x) = td (x-a₁) ²… (x-a_n) ²+ (t+d) (x-a₁) … (x-a_n) +1.

Из равенства многочленов получаем m = td и (t+d) (x-a₁) … (x-a_n) = 0. Последнее равенство выполнено при всех значениях x, поэтому из него следует, что t+d = 0, то есть t = - d. Откуда натуральное m = - t². Противоречие показывает, что многочлен m (x-a₁) ²… (x-a_n) ²+1 неприводим. Утверждение доказано.

3. Рассмотрим неприводимый многочлен ax²+bx+1. Допустим, дискриминант b²-4a<0, а многочлен a (x-a₁) ²… (x-a_n) ² + b (x-a₁) … (x-a_n) +1 = f₁ (x) f₂ (x) приводим. Как и в пункте 2, учитывая, что при отрицательном дискриминанте многочлен не будет обращаться в 0, получаем:

f₁ (x) = t (x-a₁) … (x-a_n) +1;

f₂ (x) = d (x-a₁) … (x-a_n) +1.

Отсюда,

a (x-a₁) ²… (x-a_n) ² + b (x-a₁) … (x-a_n) +1 =

= f₁ (x) f₂ (x) = td (x-a₁) ²… (x-a_n) ²+ (t+d) (x-a₁) … (x-a_n) +1.

Из равенства многочленов получаем, что a = td и b = t+d. Значит t и d являются корнями уравнения x² -bx +a = 0. Но согласно предположению дискриминант этого уравнения b²-4a<0. Уравнение не имеет корней. Таким образом допущение не верно и при отрицательном дискриминанте многочлен a (g (x)) ²+bg (x) +1 неприводим.

3.2 Пример 2: волнистые числа

Назовем девятизначное число волнистым числом первого типа, если

Например, число 162539581 волнистое число первого типа. Назовем девятизначное число волнистым числом второго типа, если

а) Найдите количество девятизначных волнистых чисел первого и второго типа.

б) Найдите формулу для вычисления количества волнистых п-значных чисел первого и второго типа.

Назовем девятизначное число волнистым числом третьего типа, если

Назовем девятизначное число волнистым числом четвертого типа, если

а) Найдите количество девятизначных волнистых чисел третьего и четвертого типа.

б) Найдите формулу для вычисления количества волнистых п-значных чисел третьего и четвертого типа.

Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.

Решение

Лемма 1. Обозначим через f (n,k₁,k₂) - количество n-значных волнистых чисел первого типа, начинающихся с цифры k₁ и заканчивающиеся на цифру k₂, g (n,k₁,k₂) - количество n-значных волнистых чисел второго типа, начинающихся с цифры k₁ и заканчивающиеся на цифру k₂. Тогда

и

Также, и

Доказательство. Рассмотрим n-значные волнистые числа первого типа.

Нетрудно заметить, как они получаются. Берутся все n-1-значные волнистые числа и, в зависимости от текущего знака (“”), дописывается каждому числу цифра, меньшая или большая последней, т.е. чтобы найти количество n-значных волнистых чисел, заканчивающихся на k, надо найти сумму всех количеств n-1-значных чисел заканчивающихся на цифры от 0 до k-1 или от k+1 до 9.Т. к. на каждом шаге мы корректно вычисляем волнистые числа, то нет необходимости знать всё число: все зависит от последней цифры.

Следовательно, можно составить рекуррентную формулу, которая будет корректно вычислять количество n-значных волнистых чисел первого типа начинающихся на цифру k₁ и заканчивающихся на цифру k₂.

Рассмотрим рекуррентную формулу для волнистых чисел первого типа.

Начальные её значения , т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i ( ).

Пусть , тогда по четности/нечетности i ( ) определяем текущий знак “”:

Если i-нечетное, то является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел первого типа, которые начинаются на k₁ и у которых последняя цифра меньше k₂.

Если i-четное, то является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел первого типа, которые начинаются на k₁ и у которых последняя цифра больше k₂.

Аналогично, выводится рекуррентное соотношение для волнистых чисел второго типа.

Теорема 1. Количество n-значных волнистых чисел первого типа:

и количество n-значных волнистых чисел второго типа:

.

Составим таблицу некоторых значений f (n,k,k₂)

k
0	1	0	0		0		0
1	1	8	44		276		1650
2	1	7	42		259		1561
3	1	6	39		235		1430
4	1	5	35		205		1260
5	1	4	30		170		1055
6	1	3	24		131		820
7	1	2	17		89		561
8	1	1	9	45		285
9	1	0	0	0		0
	10	36	240	1410		8622

k
0	0	0	0	0
1	10032	60654	367422	2224299
2	9471	57309	347073	2101296
3	8651	52403	317253	1920984
4	7596	46067	278782	1688269
5	6336	38471	232715	1409487
6	4906	29820	180312	1092234
7	3345	20349	123003	745161
8	1695	10317	62349	377739
9	0	0	0	0
	52032	315390	1908909	11559469

Составим таблицу некоторых значений g (n,k,k₂)

k
0	1	0	0	0	0
1	1	1	9	45	285
2	1	2	17	89	561
3	1	3	24	131	820
4	1	4	30	170	1055
5	1	5	35	205	1260
6	1	6	39	235	1430
7	1	7	42	259	1561
8	1	8	44	276	1650
9	1	9	45	285	1695
	10	45	285	1695	10317

k
0	0	0	0	0
1	1695	10317	62349	377739
2	3345	20349	123003	745161
3	4906	29820	180312	1092234
4	6336	38471	232715	1409487
5	7596	46067	278782	1688269
6	8651	52403	317253	1920984
7	9471	57309	347073	2101296
8	10032	60654	367422	2224299
9	10317	62349	377739	2286648
	62349	377739	2286648	13846117

Ответ:

а) первого типа: 11559469; второго типа: 13846117

б)

Лемма 2. Обозначим через t (n,k₁,k₂) - количество n-значных волнистых чисел третьего типа, начинающихся с цифры k₁ и заканчивающиеся на цифру k₂, r (n,k₁,k₂) - количество n-значных волнистых чисел четвертого типа, начинающихся с цифры k₁ и заканчивающиеся на цифру k₂. Тогда

и

Также и

Доказательство. Рассмотрим n-значные волнистые числа третьего типа.

Нетрудно заметить, как они получаются. Берутся все n-1-значные волнистые числа и, в зависимости от текущего знака (” ", ”", ” ”), дописывается каждому числу цифра, меньшая, равная или большая последней, т.е. чтобы найти количество n-значных волнистых чисел, заканчивающихся на k, надо найти сумму всех количеств n-1-значных чисел заканчивающихся на цифры от 0 до k, или от 0 до k+1, или от k+1 до 9, или от k до 9.Т. к. на каждом шаге мы корректно вычисляем волнистые числа, то нет необходимости знать всё число: все зависит от последней цифры.

Следовательно, можно составить рекуррентную формулу, которая будет корректно вычислять количество n-значных волнистых чисел третьего типа начинающихся на цифру k₁ и заканчивающихся на цифру k₂.

Рассмотрим рекуррентную формулу для волнистых чисел третьего типа.

Начальные её значения , т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i ( ).

Пусть , тогда по остатку от деления i-2 на 4 определяем текущий знак: ” ", ”", ” ”:

Если (i-2) mod 4=0, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k₁ и у которых последняя цифра меньше либо равна k₂.

Если (i-2) mod 4=1, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k₁ и у которых последняя цифра меньше k₂.

Если (i-2) mod 4=2, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k₁ и у которых последняя цифра больше.

Если (i-2) mod 4=3, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k₁ и у которых последняя цифра больше либо равна k₂.

Аналогично, выводится рекуррентное соотношение для волнистых чисел четвертого типа.

Теорема 2. Количество n-значных волнистых чисел третьего типа:

и количество n-значных волнистых чисел четвертого типа:

.

Составим таблицу некоторых значений t (n,k,k₂)

k
0	1	0	0	0	0
1	1	9	36	240	990
2	1	8	28	196	826
3	1	7	21	154	665
4	1	6	15	115	510
5	1	5	10	80	365
6	1	4	6	50	235
7	1	3	3	26	126
8	1	2	1	9	45
9	1	1	0	0	0
	10	45	120	870	3762

k
0	0	0	0	0
1	7722	28182	190740	796521
2	6412	23310	157926	659835
3	5131	18564	125922	526449
4	3906	14053	95449	399334
5	2771	9907	67382	282126
6	1766	6271	42711	178971
7	936	3300	22506	94380
8	330	1155	7887	33099
9	0	0	0	0
	28974	104742	710523	2970715

Составим таблицу некоторых значений r (n,k,k₂)

k
0	1	0	0	0	0
1	1	1	1	10	45
2	1	2	3	29	126
3	1	3	6	56	235
4	1	4	10	90	365
5	1	5	15	130	510
6	1	6	21	175	665
7	1	7	28	224	826
8	1	8	36	276	990
9	1	9	45	330	1155
	10	45	165	1320	4917

k
0	0	0	0	0
1	285	1155	9042	33099
2	810	3300	25806	94380
3	1531	6271	48982	178971
4	2406	9907	77289	282126
5	3396	14053	109502	399334
6	4499	18564	144486	526449
7	5586	23310	181236	659835
8	6732	28182	218922	796521
9	7887	33099	256938	934362
	33099	137841	1072203	3905077

Ответ:

а) третьего типа: 2970715; четвертого типа: 3905077

б)

3. Используя метод рекуррентного соотношения для подсчёта количество волнистых чисел, можно составить рекуррентную формулу для любой конфигурации знаков ””,” ”,” ”,”=". Какой знак на текущем шаге вычисления рекуррентного соотношения можно легко определять по остатку от деления текущего i-2 ( ) на количество различных знаков до повторения.

Например, выведем формулу для нахождения количества волнистых чисел типа:

Количество различных знаков до повторения - 3.

q (n,k₁,k₂) - количество n-значных волнистых чисел данного типа, начинающихся с цифры k₁ и заканчивающиеся на цифру k₂.

Начальные значения , т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i ( ).

Пусть , тогда по остатку от деления i-2 на 3 определяем текущий знак:

Если (i-2) mod 3=0, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел данного типа, которые начинаются на k₁ и у которых последняя цифра меньше либо равна k₂.

Если (i-2) mod 3=1, равно количеству i-1-значных волнистых чисел данного типа, которые начинаются на k₁ и у которых последняя цифра равна k₂.

Если (i-2) mod 3=2, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел данного типа, которые начинаются на k₁ и у которых последняя цифра больше либо равна k₂.

В итоге получаем формулу:

и

Количеством n-значных чисел данного типа будет:

Составим таблицу некоторых значений q (n,k,k₂)

k
0	1	0	0	0	0		0		0
1	1	9	9	54	375		375		2475
2	1	8	8	52	356		356		2366
3	1	7	7	49	329		329		2205
4	1	6	6	45	295		295		1995
5	1	5	5	40	255		255		1740
6	1	4	4	34	210	210		1445
7	1	3	3	27	161	161		1116
8	1	2	2	19	109	109		760
9	1	1	1	10	55	55		385
	10	45	45	330	2145	2145		14487

Заключение

Научно-исследовательская работа является важным этапом подготовки будущих научных кадров. Она открывает перед учащимися один из аспектов математики, столь же важный, сколь редко упоминаемый: математика предстает в этих задачах наукой, тесно связанной с другими; естественными науками, разновидностью "экспериментальной науки", в которой наблюдение (эксперимент) и аналогия могут привести к открытиям (этот аспект математики должен особенно привлекать будущих "потребителей" математики - естествоиспытателей и инженеров). Она может привить им вкус к математике, так как открывает возможность для самостоятельной, творческой работы.

В данной дипломной работе были рассмотрены основные цели и задачи, формы и содержания, методы и приемы научно-исследовательской работы школьников по математике. Примеры заданий научно-исследовательского характера помогают читателю получить более полное представление о рассматриваемом вопросе.

Список используемой литературы

1. Д. Пойа, Математическое открытие, "Наука", Москва 1970.

2. Д. Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения", М.: "Наука"., 1975

3. http://www.fpmi. bsu. by/UniXXI/index.html

Приложение 1

ЗАДАЧИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Старшая группа (9-11 классы)

Задача 1.1.1 Найти наименьшее значение суммы 21•А + 14•В, если известно, что А•В = 6 и В > 0.

Задача 1.1.2 Найдите 2006 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного квадрата натурального числа.

Задача 1.1.3 Медианы треугольника имеют длины 9, 12, 15. Чему равна площадь этого треугольника?

Задача 1.1.4 Слава сложил из одинаковых кубиков с ребрами, равными 1, прямоугольный параллелепипед. Затем записал на бумажке три числа - 42, 48 и 82 и, показывая ее друзьям, сказал, что это - объем, площадь поверхности и сумма длин всех ребер сложенного им параллелепипеда, но не сказал, где какое число. Чему равны длины ребер этого параллелепипеда?

Задача 1.1.5 На чудо-дереве Мичурина растут бананы и апельсины, бананов в два раза больше, чем апельсинов. Каждый день он срывает два плода и на их месте вырастает один новый, причем если он срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных, то вырастает банан. Каким может оказаться последний фрукт на этом дереве?

Задача 1.1.6 Из четырех натуральных различных чисел, больших 1, составили всевозможные попарные суммы. Известно, что самая малая из этих сумм равна 11, а самая большая - 29. Кроме того, среди этих сумм есть равные 12 и 21. Найдите те четыре числа, из которых составлялись указанные суммы.

Задача 1.1.7 Можно ли числа 1, 2,. ., 10 расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалось от предыдущего на целое число процентов?

Задача 1.1.8 Известно, что в треугольниках АВС и А1В1С1 равны стороны АВ и А1В1, углы ÐАВС и углы ÐА1В1С1 и суммы длин сторон ВС + СА и В1С1 + С1А1. Докажите, что тогда равны и сами треугольники АВС и А1В1С1.

Задача 1.1.9 Дан треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см. В него вписана окружность, к которой проведена касательная, параллельная большей стороне. Эта касательная отсекла от исходного треугольника меньший треугольник. В этот треугольник тоже вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная первой. Получился новый треугольник, в который снова вписана окружность и проведена касательная, параллельная предыдущим. Такие построения можно продолжать неограниченно долго (бесконечно). Чему равна сумма радиусов всех окружностей?

Задача 1.1.10 На каждой из планет некоторой системы находится ровно один астроном, и он наблюдает ближайшую планету. Расстояния между планетами попарно различны. Есть ли две планеты этой системы, астрономы которых наблюдают друг друга? Докажите, что если число планет нечетно, то какую-нибудь планету никто не наблюдает.

1.2 Средняя группа (6-8 классы)

Задача 1.2.1 В шахматном однокруговом турнире каждые два участника встречались между собой один раз. Сколько человек участвовало в турнире, если после его окончания оказалось, что всего было сыграно 78 партий?

Задача 1.2.2 На столе лежат 2006 камешков. Двое играющих берут поочередно с этого стола камешки, причем за один раз не более 10 камешков. Выигрывает тот, кто берет последний камешек. Кто должен наверняка выиграть: начинающий или его соперник? Как надо ему играть, чтобы наверняка выиграть?

Задача 1.2.3 Будем называть натуральное число "замечательным", если оно - самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько существует трехзначных "замечательных" чисел? Выпишите их все.

Задача 1.2.4 Саша отпил 1/6 чашечки черного кофе и долил ее молоком. Затем он выпил 1/3 той же чашечки и снова долил ее молоком. После этого он выпил уже полчашечки смеси и снова долил ее молоком. Наконец, он выпил все содержимое чашечки. Чего Саша выпил больше - кофе или молока?

Задача 1.2.5 В тетради в клеточку нарисован квадрат 5x5 клеток. Разрежьте этот квадрат по линиям клетчатой бумаги на семь прямоугольников, среди которых нет одинаковых. Какие размеры полученных прямоугольников?

Задача 1.2.6 Можно ли в клетках таблицы 4 x 4 расставить числа 2005 и 2006 так, что для любой клетки этой таблицы сумма чисел в ней и всех ее соседях будет нечетной? Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону или вершину.

Задача 1.2.7 У Дениса есть рыболовная леска длиной 192 см и ножницы. Он желает отрезать от нее кусок в 90 см. Сможет ли он это сделать, если у него нечем отмерить указанную длину? Если да, то, каким образом? Если нет, то обоснуйте почему?

Задача 1.2.8 Можно ли произвольный квадрат разрезать на 6 меньших, необязательно равных, квадратов? А на 2006 можно?

Задача 1.2.9 Поезду-экспрессу требуется три секунды на то, чтобы войти в туннель длиной в один километр. За какое время (в секундах) он пройдет весь туннель, если идет со скоростью 120 км/ч?

Задача 1.2.10 Вова задумал целое положительное число. Дима умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к результату Димы то ли 5, то ли 6. Витя отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге получилось 71. Какое число мог задумать Вова?

1.3 Младшая группа (2-5 классы)

Задача 1.3.1 Имеется восемь шариков для подшипника. Один шарик оказался, при равных размерах с остальными, сделанным из более легкого сплава. Можно ли найти этот "легкий" шарик с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

Задача 1.3.2 За завтраком Дюймовочка съела два лепестка розы, два кукурузных зёрнышка и запила тремя каплями росы. Мальчик-с-пальчик съел четыре лепестка розы, три кукурузных зёрнышка и выпил шесть капель росы. После этого Дюймовочка стала весить на 14 граммов больше, а Мальчик-с-пальчик - на 25 граммов. Сколько граммов весит зёрнышко кукурузы?

Задача 1.3.3 В одном учебнике по математике для начальных классов есть такая задача: "Как 12 разделить, чтобы получилось две семерки?". Ясно, что ее нельзя решить стандартно. А вообще можно ли ее решить и как?

Задача 1.3.4 а) Можно ли 44 монеты расположить в десяти кошельках так, чтобы любые два из них содержали различное число монет? (Считаем, что два пустых кошелька содержат одинаковое число монет - нуль, и один кошелек в другой вкладывать нельзя). б) Та же задача, но теперь разрешается некоторые кошельки вкладывать в другие.

Задача 1.3.5 Имеются три сосуда емкостей 3 л, 3 л и 7 л. Можно ли, пользуясь этими сосудами, налить в большой сосуд ровно 5 л воды?

Задача 1.3.6. Три кренделя, пять коврижек и шесть баранок стоят по целому числу монеток, а все вместе 24 монетки. Что дороже: крендель или баранка?

Задача 1.3.7. Старинная задача: "В жаркий день шесть косцов выпили бочонок кваса за восемь часов. Нужно узнать, сколько косцов за три часа выпьют такой же бочонок кваса".

Задача 1.3.8. Есть 2003 монеты, одна из которых фальшивая, отличающаяся от остальных по весу. Выясните, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая, при помощи двух взвешиваний.

Задача 1.3.9. На столе лежат помидоры, огурцы и зеленые мячики. Зеленых предметов 8, круглых - 12, а съедобных - 14. Сколько помидоров лежит на столе?

Задача 1.3.10. На столе лежат три кучки камешков. В одной кучке один камешек, в другой - два, в третьей - три. Двое играющих берут поочередно эти камешки, причем за один раз можно взять любое число камешков из одной кучки. Выигрывает тот, кто забирает последний камешек. Что можно сказать об игре начинающего: он наверняка проигрывает или выигрывает?

1.4 Дополнительные вопросы

1. Кто ввел в математику термины "инвариант" и "дискриминант", и что эти термины означают?

2. Когда и в чьих работах впервые появились матрицы? Является ли матрицей таблица Д.И. Менделеева?

3. Кем впервые решена (сначала на основе механических соображений, а потом и строго геометрически) известная задача о точке пересечения медиан треугольника?

4. Какие окружности и почему называют окружностями Аполлония?

5. Что утверждает теорема Стюарта, и где она обычно применяется?

6. Давид Гильберт говорил, что тот, кто может решить следующую задачу в уме без вычислений, - тот прирожденный математик. Задача: "Из чашки с кофе в чашку с молоком перелили ложку кофе, затем такую же ложку смеси перелили обратно. Чего больше: молока в чашке с кофе или кофе в чашке с молоком?" Решите эту задачу и ответьте на вопрос: что вам известно о Д. Гильберте?