Раздел 3.

СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ

Образование скачков уплотнения

Отличительной особенностью сверхзвуковых газовых потоков является то, что в них при условии торможения образуются поверхности, при прохождении через которые параметры газа изменяются скачком – скорость резко падает, а давление, плотность и температура возрастают. Такие поверхности разрыва, перемещающиеся относительно газовой среды, называют ударными волнами, а неподвижные поверхности разрыва – стационарными ударными волнами, или скачками уплотнения.

Образование скачков обусловлено специфическим характером распространения конечных возмущений в сверхзвуковом газовом потоке. Мы знаем, что в простой волне сжатия параметры газа изменяются на малую величину. При конечном возмущении величины   P '   и   '   могут быть значительными   (P ' = P₀; ' = ₀).   Основное отличие этих двух видов возмущений заключается в поведении параметров потока, определяющих движение. При малых возмущениях все параметры потока являются непрерывными функциями координат и времени, тогда как при конечных возмущениях параметры потока претерпевают конечные разрывы. В этом главное отличие малых возмущений от конечных. Возмущения, вызванные в жидкостях и газах, в зависимости от условий могут быть либо малыми, либо конечными. В обычных условиях акустические возмущения являются малыми и распространяются со скоростью звука, в то время как при сильных взрывах они будут конечными и скорость их распространения будет значительно больше скорости звука.

Е

Рис. 8. Скачок уплотнения

стественно предположить, что образование скачка конечной интенсивности связано со сложением простых волн сжатия, а как результат – с их взаимным усилением. Пусть сверхзвуковой поток движется по ровной и гладкой поверхности (рис. 8). Создадим искусственное повышение давления в точке A, например повернув поток на бесконечно малый угол. Иными словами – пусть в точке A имеется источник бесконечно малых возмущений. Как мы видели ранее, это приведет к образованию простой волны сжатия (звуковой волны)   АВ, или характеристики, выходящей из   А   как из источника возмущения и наклоненную под углом   
(угол Маха). Если повернуть поток на конечный угол   ,   то в этом случае распространение возмущений, создаваемых стенкой   АС,   можно рассматривать как совокупность непрерывно следующих друг за другом звуковых волн, причем каждая последующая волна перемещается по газу, возмущенному предыдущими волнами. Но в рассматриваемом адиабатическом и изоэнтропическом движении возмущение газа сопровождается его сжатием и нагреванием, а скорость распространения возмущения возрастает с температурой. Отсюда следует, что:

1) каждая последующая волна будет перемещаться относительно газа несколько быстрее, чем предыдущая. Волны будут догонять друг друга, складываться и образовывать одну мощную волну сжатия   AD,   называемую ударной волной, или скачком уплотнения;

2

Рис. 9. Изменение параметров в скачке

Рис. 10. Виды скачков:
присоединенные: а – криволинейный,
б – прямолинейный; в – отсоединенный
криволинейный

) возникающий таким образом скачок уплотнения имеет скорость распространения бóльшую, чем скорость звука, а фронт его (скачка) составляет угол    >    Обнаруженное свойство ударных волн – распространяться со скоростью, большей скорости звука, – приводит к тому, что ударные волны возникают перед телом только в тех случаях, когда движение происходит со сверхзвуковой скоростью. После того как ударная волна образовалась по обе стороны от ее фронта, параметры газа будут иметь значения, различающиеся между собой на конечные величины, т. е. фронт волны представляет собой поверхность разрыва параметров газа.

В реальных условиях скачок уплотнения характеризуется некоторой толщиной. Как показывает теория, толщина скачка мала и имеет порядок длины свободного пробега молекул (рис. 9). Поэтому практически область перехода можно считать математически тонкой поверхностью. В наиболее общем случае скачок уплотнения имеет криволинейную форму (рис. 10).

Определение параметров газа
за скачком уплотнения

Для решения задачи сделаем следующие допущения:

1) газ легкий   (f = 0),   идеальный, без трения   (  0);

2) течение адиабатическое, т. е. теплообмен отсутствует;

3) движение газа установившееся   ( / t = 0);

4) 3‑мерная задача заменена плоской (с учетом симметрии обтекания тела).

Введем систему координат   n,    связанную со скачком. Разложим скорости   w₁   и   w₂   по направлениям   n   и      (нормальным к плоскости скачка и касательным к ней). Граница раздела   AD   – есть граница сильного изменения параметров, т. е.    / n   / t.

При этих предположениях из уравнения неразрывности (2.4), определяющего количество газа, протекающего через единичную поверхность скачка в единицу времени, получим

У

равнение баланса энергии при адиабатическом движении (2.43) запишем так:

Р
авенство (3.2) представляет собой закон сохранения полной энтальпии   h₀ газа при его прохождении через скачок уплотнения. Следовательно, сохраняется и температура адиабатически заторможенного газа   T₀,   а также   a₀, a, T*,
т. е.:

Последние два уравнения написаны в соответствии с формулой Клайперона (P = RT).

У
равнение состояния:

У
равнение движения (2.26') запишем так:

и
ли (в проекциях на оси   n,    с учетом стационарности движения):

И
з 1‑го уравнения следует, что   w_n w_n + P = 0,   или, интегрируя, получим
(с учетом, что   w_n = const)

т
. е.

И
з 2‑го уравнения следует, что   w_ = 0,   w_ = const,   т. е.:

Таким образом, касательная составляющая скорости при переходе через скачок не меняется, поэтому косой скачок можно рассматривать как прямой, который сносится вместе с потоком газа вбок со скоростью   w_ = const.
В косом скачке подвергается разрыву не полная скорость   w_,   а лишь ее нормальная компонента   w_n.

У
читывая, что

п
ерепишем уравнение энергии следующим образом:

г
де, в соответствии с (2.49'),

Т
ак как

т
о из (3.6) имеем

О
тсюда получим

А
налогично

Д
алее, разделив уравнение (3.4) на   ₁   и заменив   ₂ / ₁   из уравнения неразрывности (3.1), получим

П
одставим (3.6') в (3.7):

и
после упрощений данное уравнение будет иметь следующий вид:

С помощью уравнения (3.8) устанавливается связь между нормальными составляющими скоростей при переходе через скачок.

Н
айдем связь между термодинамическими параметрами. Из (3.6') можно получить

П
одставив это в (3.8), выведем исходную систему:

Д
алее, сначала приравняв уравнения в (3.9), получим

З
атем, перемножив уравнения системы (3.9), имеем

И
з (3.10) найдем отношение   P₁ / ₁,   заменим в нем   ₂ / ₁   из уравнения неразрывности и, подставив левую часть уравнения (3.11) с учетом   w_{n 1}  w₁ ×
× sin ,   получим

А
налогично можно получить:

И

з формулы (3.12) можно заключить, что нормальная составляющая скорости до скачка больше скорости звука. Действительно, так как   (P₂ / P₁)  1,
то

О
тсюда

И
з последнего неравенства вытекает еще один вывод:

т
. е.

где      – угол Маха.

Таким образом, угол      косого скачка, или скачка конечной интенсивности, всегда больше угла Маха. Если    = arcsin (1 / М₁) =    то из (3.12) и (3.13) получим   P₂ / P₁ = ₂ / ₁ = 1,   т. е. косой скачок вырождается
в слабую (звуковую) волну уплотнения.

Прямой скачок уплотнения. Мы установили, что параметры течения за косым скачком зависят от угла      скачка. При увеличении угла      давление, плотность и температура возрастают, а скорость уменьшается. В частном случае, при    = 90,   изменение параметров в скачке оказывается максимальным. Такой скачок называют прямым. Уравнения его получаются из приведенных ранее формул при    = 90.   Формулу для определения   w₂
можно получить из (3.8), учитывая, что   w_ = 0.   При этом   w_{n 1} = w₁;
w_{n 2} = w₂   и   w₁ · w₂ = a*².   Отсюда следует, что скорость газа за скачком меньше критической. Это означает, что прямой скачок является наиболее интенсивным, вызывающим максимальное повышение давления и плотности. Из последней формулы видно, что чем выше начальная скорость   w₁,   тем меньше   w₂,   т. е. тем сильнее становится скачок уплотнения. С уменьшением   w₁   скачок ослабевает, а исчезает совсем при   w₁ = w ₂ = a*.

Ударная адиабата
(энергетические потери в скачке)

У
равнения (3.12) и (3.13) связывают между собой термодинамические параметры и скорость газа. Можно, исключив из них величину   М₁² · sin², получить соотношение между термодинамическими характеристиками по обе
стороны разрыва – так называют уравнение ударной адиабаты, или адиабаты Гюгонио: