Плоское,с.60-65 (Лекции (много вордовский файлов))

и скоростного напора   w_² / 2   набегающего потока. При    = ±  / 2
C_P = –3;   в этих точках на поверхности цилиндра – максимальное разрежение. Давление здесь меньше, чем   P_   на три скоростных напора. Эксперименты не подтверждают теорию из‑за наличия пограничного слоя, т. е. невозможности безотрывного плавного обтекания цилиндра.

Определим силовое воздействие такого потока на цилиндр. Поскольку цилиндр обтекается потенциальным (невязким) потоком, то на его поверхности действуют только гидродинамические давления. Исключая внешние объемные силы, для проекций элементарной гидродинамической силы получим

Так как   P   направлено против   r,   то

и

Поэтому с учетом (4.18):

(P_x   называют силой сопротивления, а   P_y   – подъемной силой.)

Как видим, при бесциркуляционном обтекании цилиндра силы   P_x   и   P_y
равны нулю. Этот результат – следствие принятых допущений об отсутствии в потоке сил вязкости. При обтекании цилиндра потоком вязкой жидкости его сопротивление не равно нулю, и распределение давлений не является симметричным. В вязком потоке давление в конце цилиндра всегда меньше, чем в передней его части, поэтому и проекция   dP_x   всегда будет больше нуля.

Циркуляционное обтекание круглого цилиндра. Наложим на изученное обтекание круглого цилиндра циркуляционный поток вокруг вихря, причем вихрь поместим в центр контура цилиндра. Тогда комплексный потенциал

Отсюда

Приравняв уравнение (4.22) к нулю   (w = 0),   найдем положение критических точек:

В зависимости от величины циркуляции возможны следующие три случая расположения критических точек на цилиндре:

1‑й – циркуляция мала:

Тогда

Корни комплексные, имеют общую ординату   Г / 4 w_   и отличаются лишь значениями абсцисс. Модуль каждого корня равен   a.   Критические точки расположены симметрично оси   0y.   При   Г  0   критические точки перемещаются к оси   0x;

2‑й – предельный случай:

Тогда корни   z₁   и   z₂   равны, критические точки совпадают и находятся на мнимой оси в точке   z₁ = z₂ = ai;

3‑й – циркуляция велика:

Тогда

Оба корня мнимые, причем модуль одного больше радиуса цилиндра, а другого – меньше. Первый корень дает критическую точку   A,   лежащую вне круга на оси   0y,   второй – точку   B   (внутри круга). Около цилиндра создается некоторая область потока, в которой жидкость совершает чисто циркуляционное движение. Вне циркуляционной области происходит поступательно‑циркуляционное обтекание цилиндра.

Найдем распределение скоростей по поверхности цилиндра   (z = ae^i ).   Из (4.22) получим

Откуда:

Распределение избыточных давлений получим из уравнения Бернулли:

Чтобы определить силовое воздействие циркуляционного потока на цилиндр, воспользуемся уравнениями (4.19) и подставим в них (4.23):

Все интегралы, кроме третьего, равны нулю, поэтому

Таким образом, мы получили очень важный результат: при обтекании цилиндра плоским циркуляционным потоком несжимаемой жидкости на единицу длины цилиндра действует подъемная сила, величина которой равна произведению плотности жидкости, скорости потока на бесконечности и циркуляции скорости вокруг цилиндра. Направление этой силы найдем, если скорость   w_   перенести в центр обтекаемого контура и повернуть на 90° против направления циркуляции. Этот вывод – частный случай теоремы
(о подъемной силе)   Н. Е. Жуковского.

Возникновение подъемной силы является результатом несимметричного относительно оси   0x   распределения давлений и скоростей по контуру цилиндра. Например, если направление циркуляции скорости положительно (вращение против часовой стрелки), то в точках, лежащих на нижней половине цилиндра, скорости будут больше, чем в точках на верхней его половине, а избыточное давление – наоборот.

Обратим внимание на то обстоятельство, что создание циркуляционного обтекания цилиндра в потенциальном (безвихревом) потоке было получено путем замены цилиндра одиночным прямолинейным вихревым шнуром, удвоенное напряжение которого и равно циркуляции скорости вокруг цилиндра. На возможность замены твердого тела эквивалентной системой вихрей впервые указал Н. Е. Жуковский. Вихри, заменяющие твердое тело, он назвал присоединительными вихрями.

Решение задач обтекания
по методу конформных отображений

Конформным отображением называют геометрическое преобразование некоторой области   с₁,   расположенной в плоскости комплексной переменной
z = x + iy   (физическая плоскость) (см. рис. 36,а), в область, находящуюся в другой плоскости – комплексной переменной    =  + i   (вспомогательная плоскость) (см. рис. 36,б). Такое преобразование осуществляется с помощью аналитической функции

Эта функция называется преобразующей.

Рис. 36. Плоскости комплексной переменной

Рассмотрим основное свойство
конформного преобразования. Так как
z = f ()   – аналитическая функция, то

Приравняем аргументы этих функций:

Здесь аргумент производной      может зависеть от   ,   но при фиксированном    он постоянен. Из полученного равенства (4.26) следует, что

т. е. любая линия в z‑плоскости поворачивается на угол      в ‑плоскости,
если только преобразование аналитично и производная отличается от нуля.

Этот результат справедлив для любой линии, поэтому его можно применить и к двум линиям. Тогда угол между ними составит

откуда видно, что аналитическое преобразование не меняет угла. Преобразования, которые не изменяют углов, называют конформными.

Рассмотрим теперь применение метода конформных отображений для решения плоских потенциальных потоков. Как уже известно, любой плоский потенциальный поток изображается на плоскости с помощью ортогональной сетки, состоящей из линий равного потенциала скорости и линий тока. Сетку течения, нанесенную в одной комплексной плоскости, можно конформно отобразить в любой другой комплексной плоскости, при этом в новой плоскости получится тоже ортогональная сетка, определяющая потенциальное обтекание тела иной геометрической формы.

Итак, чтобы определить обтекание тела заданной, подчас очень сложной формы в z‑плоскости (физической), осуществляют конформное отображение течения на ‑плоскость (вспомогательную) при помощи аналитической функции (4.25), причем предполагается, что течение в z‑плоскости проще и комплексный потенциал уже известен. Рассмотрим два примера.

П р и м е р  1. Пусть   (z)   – искомый комплексный потенциал в z‑плоскости, а
*()   – известный комплексный потенциал циркуляционного обтекания круглого цилиндра в ‑плоскости:

Пользуясь связью между   z   и      (4.25), найдем, что

Взяв производную от      от обеих частей этого равенства, получим

а в бесконечно удаленных точках

где   m _¥   – коэффициент конформного отображения.

Так как при конформном отображении направление вектора скорости   w_¥ сохраняется, т. е.   w_¥* ïï w_¥ ,   то из (4.29) следует, что величина   m_¥·   – действительная
и положительная.

Рассмотрим теперь циркуляцию   Г*.   Представив ее как действительную часть интегралов (4.6), т. е. как

заключаем, что циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профиль, при конформном отображении не изменяется.

Таким образом, будем иметь окончательное выражение комплексного потенциала в z‑плоскости в виде параметрической зависимости от параметра   :

П р и м е р  2. Свойство конформного отображения сохранять ортогональность координатной сетки при деформации координатных линий положено в основу введения криволинейных ортогональных систем координат. Проиллюстрируем это (см. пп. «а» и «б»):

а) преобразующая функция

где   c   – действительная постоянная,

дает переход от декартовых координат   x, y   к эллиптическим координатам   , .
В самом деле, отделяя в (4.32) действительную и мнимую части, получим