Раздел 1.

КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Задание движения сплошной среды.
Индивидуальная и местная производные

По определению, знать движение сплошной среды – значит знать движение всех ее точек. Индивидуальные точки сплошной среды можно задавать значениями их начальных координат. Координаты точек в начальные моменты времени   t₀   будем обозначать:   x₀, y₀, z₀,   а координаты точек в любой момент времени –   x, y, z.   Для любой точки, выделенной координатами   x₀, y₀, z₀,
можно написать закон движения:

x = x (t, x0, y0, z0),
y = y (t, x0, y0, z0),	(1.1)
z = z (t, x0, y0, z0).

Если в (1.1)   x₀, y₀, z₀   – фиксированы, а   t   – переменно, то мы получим закон движения одной точки среды. Если   x₀, y₀, z₀   – переменны, а   t   – фиксировано, то мы получим распределение точек среды в пространстве в данный момент времени.

Координаты   x₀, y₀, z₀   (индивидуализирующие точки среды) и время   t
являются переменными Лагранжа.

Предположим теперь, что нас интересует не само движение индивидуальных точек среды, а то, что происходит в разные моменты времени в данной точке пространства. Пусть наше внимание концентрируется на определенной точке пространства, в которую попадают различные частицы сплошной среды. Это составляет суть точки зрения Эйлера на изучение движения среды. Геометрические координаты пространства   x, y, z   и время   t
– переменные Эйлера. Движение среды, по Эйлеру, задается полем скоростей:

wx = wx (t, x, y, z),
wy = wy (t, x, y, z),	(1.2)
wz = wz (t, x, y, z)

(w =i w_x +j w_y + w_z   – задание картины поля скоростей).

Если в (1.2)   x, y, z   – фиксированы, а   t   – переменно, то мы получим изменение со временем скорости в данной точке пространства для различных частиц, попадающих в эту точку. При фиксированном  t  и переменных  x, y, z
эти функции дают распределение скоростей в определенный момент времени.

Распределение скоростей можно задать с точки зрения как Лагранжа [w (t, x₀, y₀, z₀)],   так и Эйлера   [w (t, x, y, z)].   Если распределение скорости задано по Лагранжу, то изменение скорости   w   в единицу времени   t   частицы среды найти просто. Оно будет равно производной   dw / dt.

Как вычислить ту же величину, если распределение скорости задано по Эйлеру:   w (t, x, y, z)?   Очевидно, что для этого надо перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа:

w (t, x, y, z) = w t, x (t, x₀, y₀, z₀), y (t, x₀, y₀, z₀), z (t, x₀, y₀, z₀)

–
и воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Тогда

где   x / t;   y / t;   z / t   – производные, берутся при постоянных   x₀,  y₀,  z₀    и,
следовательно, являются компонентами скорости w_x, w_y, w_z.

П
оэтому

Т
аким образом, мы получили выражение вектора ускорения в эйлеровых переменных. Вводя некоторый условный вектор с проекциями

п
редставим (1.3) так:

Производная   dw / dt,   характеризующая изменение скорости со временем
в данной точке сплошной среды, называется полной, или индивидуальной, или субстанциональной.

Производная   w / t,   характеризующая изменение скорости в данной точке пространства   x, y, z,   называется местной, или локальной.
Она характеризует нестационарность среды (если среда стационарна, то
w / t = 0).

Величина   (w)w,   образующаяся за счет изменения координат точки, соответствующей передвижению (конвекции) ее в поле физической величины, называется конвективной производной. Она характеризует неоднородность поля в данный момент времени.

В
общем случае выражение

можно рассматривать как некий оператор индивидуальной производной. Этот оператор может применяться к скалярным функциям, а также к тензорным величинам, связанным с движущейся частицей.

Линии тока и траектории

Если движение жидкости задано в переменных Лагранжа, то геометрическое представление потока дается траекториями. В переменных Эйлера для геометрической интерпретации потока пользуются линией тока, т. е. такой линией, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости совпадает с касательной к этой линии. Совпадение не только линий тока для различных моментов времени, но и их траекторий имеет место в случае установившегося, или стационарного, движения. При нестационарном течении линии тока, построенные для различных моментов времени, не будут совпадать как между собой, так и с траекториями. Из определения линии тока следует, что в каждой ее точке нормальная составляющая скорости равна нулю (т. е. через л

Рис.1. Нулевая линия тока

инию тока нет перетекания). Таким образом, между двумя произвольными линиями тока количество текущей жидкости постоянно. Если через поверхность обтекаемого тела жидкость не проходит, то эта поверхность является поверхностью тока. Для плоского обтекания это будет линия тока, которая называется нулевой линией тока (рис. 1).

Т
ак как касательная к линии тока совпадает с вектором скорости, то уравнение линии тока можно записать следующим образом:

где    – элемент линии тока;  w   – скорость;

и

ли

или

В
общем случае через любую точку в данный момент времени можно провести лишь одну линию тока. Но существуют некоторые особые точки, в которых это правило нарушается: в них линии тока пересекаются и, следовательно, вектор скорости должен иметь разные направления, что при конечном значении скорости невозможно. Поэтому в особых точках скорость должна быть равна либо нулю, либо бесконечности. На рис. 1 критическими точками являются   А   и   А₁   – в них скорость равна нулю.

Скоростное поле сплошной среды в окрестности точки.
Первая теорема Гельмгольца

Возьмем бесконечно малую частицу сплошной среды и найдем распределение скоростей в этой частице. Под бесконечно малой частицей будем понимать совокупность точек среды с координатами   ηⁱ + dηⁱ = ηⁱ + ρⁱ,
у

Рис. 2. Скоростное поле сплошной среды

даленных от центра   0   на бесконечно малые расстояния   ρ.   Пусть скорость точки   0   есть   w ₀,   а любой точки   0₁
– w ₁   (рис. 2).

Р
ассмотрим разложение скоростей в окрестности точки   0   с точностью до малых первого порядка по      (ряд Тейлора). Скорость среды   w   в окрестности точки является регулярной функцией точки (регулярная функция – это функция без разрывов), что позволяет применить разложение в степенной ряд:

где

У
равнение (1.8) выражает скорость любой точки   0₁   бесконечно малой частицы сплошной среды через скорость ее центра   w₀,   производные от   w   по координатам в центре и координаты рассматриваемой точки.

З
апишем уравнение (1.8) в тензорном виде:

где   _i   – оператор Гамильтона;   э^k    – векторы базиса   (¹ =i;   э² =j;  ^ =).

В
ведя сопряженный тензор   _k w_i ,   запишем предыдущее уравнение в следующем виде:

В
уравнении (1.9) присутствуют члены, содержащие антисимметричный тензор   w_ki   и симметричный тензор   l_ki :

Таким образом, скорость точек частицы сплошной среды разбита на три составляющие, первая из которых   w₀     (w_x0 , w_y0 , w_z0)   не зависит от координат и, следовательно, представляет скорость поступательного движения всей частицы. Выясним кинематический смысл остальных составляющих.

Р
ассмотрим вторую составляющую, для которой запишем таблицу антисимметричного тензора:

К
аждый член этой таблицы выглядит следующим образом:

С
учетом (1.11) таблицу можно представить так:

О
тсюда видно, что члены таблицы являются угловыми скоростями вращательного движения частицы сплошной среды относительно начальной точки, т. е. вторая составляющая в (1.9) характеризует вращательное движение частицы вокруг полюса с угловой скоростью