86324 (Задачи на экстремум в планиметрии)

Федеральное агентство по образованию

Кафедра общей математики

Курсовая работа по геометрии

на тему:

«Задачи на экстремум в планиметрии»

Студентки 1 курса

специальности 050201

очной формы обучения

Алишановой Дианы Сергеевны

ПРОВЕРИЛ:

Кандидат технических

наук, доцент

2007г.

Задание на курсовую работу

Привести решение нескольких задач на экстремум функций.

Изложить решение задачи на применение теоремы Чевы.

Изложить несколько решений задач о треугольнике наименьшего периметра, вписанного в остроугольный треугольник.

Цель курсовой работы:

Изучить некоторые теоремы, позволяющие решить ряд подобных задач, проиллюстрировать их применение к решению конкретных задач.

План работы:

В ряде задач элементарной геометрии требуется построить некоторую фигуру таким образом, чтобы один из параметров принимал наибольшее или наименьшее значение. Во многих случаях задачи можно решить элементарными средствами без применения методов математического анализа.

Введение

Развитие логического мышления, которое осуществляется на занятиях алгеброй и геометрией, оказывает серьёзное влияние на изучение любых наук. Знания, умения и навыки, приобретаемые при изучении этих предметов, важны для трудовой и профессиональной подготовки. Обучение алгебре и геометрии способствует формированию диалектико–материалистического мировоззрения, содействует умственному развитию, в процессе которого вырабатываются умения обобщать и конкретизировать, систематизировать и классифицировать, проводить анализ и синтез, осуществлять самоконтроль. В процессе обучения формируются и такие личностные качества, как точность и ясность словесного выражения мысли, сосредоточенность и внимание, настойчивость, ответственность и трудолюбие. На мой взгляд, геометрия в этом деле хорошая помощница.

Итак, геометрия – это раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а планиметрия – это часть геометрии, изучающая фигуры на плоскости. Моя курсовая работа на задачи на экстремум в планиметрии. Обратимся к определению экстремума - наибольшее или наименьшее значение функции. Ещё задолго до того, как сформировались общие понятия переменной величины и функции, они фактически использовались в математике. Значительную роль в развитии этих понятий сыграл метод координат, созданный французским математиком П. Ферма (1601-1665) и Р. Декартом (1596-1650). Метод координат стал широко использоваться для графического исследования функции и графического решения уравнений. С этого времени начался новый этап, который ознаменовался мощным развитием не только математики, но и всего естествознания.

Термин «функция» (от лат. Functio-исполнение, совершение) ввёл немецкий математик Г. Лейбниц (1646-1716). У него функция связывалась с графиком.

У Л. Эйлера появился и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной величины от другой. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в трудах Н.И. Лобачевского, П. Дирихле и других учёных. Что же такое экстремум в планиметрии? В своей курсовой работе я постараюсь найти ответ на этот вопрос.

§ 1. Максимум и минимум

Определение. Говорят, что функция f(x) имеет максимум в точке х = а, если в достаточной близости от этой точки всем значениям х (как большим, так и меньшим а) соответствуют значения меньшие, чем f(a).

Функция f(x) имеет минимум в точке х = а,если в достаточной близости от этой точки всем значениям х соответствуют значения f(x), большие, чем f(а).

Короче: функция f(x) имеет максимум (минимум) в точке х = а, если значение f (а) больше (меньше) всех соседних значений. Максимум и минимум объединяются

Рис. 1 наименованием экстремум ²).

Пример. Функция f(x) = ⅓ х³ - х² + ⅓ (рис. 1) имеет максимум в точке х = 0 [точка А (0; ⅓) выше всех соседних] и минимум в точке х = 2 [точка В (2; -1) ниже всех соседних].

¹) Предполагается, что функция дифференцируема в промежутке (а, b).

²) Латинское слово «экстремум» означает «крайнее».

Замечание. В обыденной речи выражения «максимум» и «наибольшая величина» равнозначны. В анализе термин «максимум» имеет более узкий смысл. Именно максимум функции может и не быть ее наибольшим значением. Так, функция f(x) = ⅓ х³ - х² + ⅓

(см. рис. 1), рассматриваемая, скажем, в промежутке (— 1; 4), имеет в точке х = 0 максимум, ибо вблизи от этой точки [а именно в промежутке (— 1; 3)] всем значениям х соответствуют значения f(x), меньшие, чем f (0), т. е. чем ⅓ (в указанном промежутке график расположен ниже точки А). Тем не менее максимум f (0) не является наибольшим значением функции в промежутке (— 1; 4), ибо при х > 3 имеем:

f(x) > ⅓

(справа от С график расположен выше точки А). Однако разыскание наибольшего значения функции в данном промежутке тесно связано с разысканием ее максимумов (см.§ 6). Аналогичное замечание для минимума.

§ 2. Необходимое условие максимума и минимума

Теорема. Если функция f (х) имеет экстремум (т. е. максимум или минимум) в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Г е о м е т р и ч е с к и: если график имеет в точке А максимальную ординату, то в этой точке касательная либо горизонтальна (рис. 1), либо вертикальна (рис. 2), либо не существует (рис. 3). То же для минимальной ординаты (точка В на рис. 1, точка А на рис. 4, точки В и С на рис. 3).

Замечание. Условие экстремума, высказанное в теореме, необходимо, но не достаточно, т. е. производная в точке х = а может обращаться в нуль (рис. 5), в бесконечность (рис. 6) или не существовать (рис. 7) без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

§ 3. Первое достаточное условие максимума и минимума

Теорема. Если в достаточной близости от точки х = а производная f '(х) положительна слева от а и отрицательна справа от а (рис. 8), то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна ¹).

Если, наоборот, слева от а производная f(х) отрицательна, а справа положительна (рис. 9), то f (х) имеет в точке а минимум при условии, что она здесь непрерывна ²).

Теорема выражает тот факт, что f(x) при переходе от возрастания к убыванию имеет максимум, а при переходе от убывания к возрастанию — минимум.

¹) Однако, f(x) может и не быть дифференцируемой при х = а (см. рис. 2).

²) Однако, f(x) может и не быть дифференцируемой при х = а

З а м е ч а н и е. Согласно теореме признаком экстремума функции f(x) является перемена знака производной f '(х) при прохождении аргумента через рассматриваемое значение х = а.

Если же при прохождении через х = а производная сохраняет знак, то f(x) возрастает в точке х = а, когда производная положительна как справа, так и слева от х = а(рис. 5, 6, 7), и убывает, когда производная отрицательна (рис. 10).[Снова предполагается, что f(x) непрерывна при х = а.]

§ 4. Правило разыскания максимумов и минимумов

Пусть функция f(x) дифференцируема в промежутке (а, b). Чтобы найти все ее максимумы и минимумы в этом промежутке, надо:

1) Решить уравнение f '(х) = 0 (корни этого уравнения называются критическими значениями аргумента; среди них надо будет искать значения х, дающие экстремум функции f(x); см. § 2).

2) Для каждого критического значения х = а исследовать, меняет ли знак производная f(x) при переходе аргумента через это значение. Если f '(х) переходит от положительных значений к отрицательным (при переходе от х < а к х > а), то имеем максимум (§ 3), если от отрицательных значений к положительным, то минимум.

Если же f ' (х) сохраняет знак, то нет ни максимума, ни минимума: при f '(х) > 0 функция f(х) в точке а возрастает, при f '(х) < 0 убывает (§ 3, замечание).

Замечание 1. Если функция f(x) непрерывна в промежутке (а, b), но в отдельных его точках не дифференцируема, то эти точки надо причислить к критическим и произвести аналогичное исследование.

Замечание 2. Максимумы и минимумы непрерывной функции следуют друг за другом, чередуясь.

Пример 1. Найти все максимумы и минимумы функции

Р е ш е н и е. Данная функция всюду дифференцируема (т. е. всюду имеет конечную производную) f '(х) = 1— х.

1) Решаем уравнение 1— х = 0. Оно имеет единственный корень х = 1.

2) Производная f '(х) = 1 — х меняет знак при переходе аргумента через значение х = 1. Именно, при х < 1 производная положительна, при х > 1 —отрицательна. Значит, критическое значение х = 1 дает максимум. Других экстремумов у функции нет.

Пример 2. Найти все максимумы и минимумы функции

f(x) = (x - 1)² (x + 1). (1)

Р е ш е н и е. Данная функция всюду дифференцируема. Имеем:

f '(х) = 2(х — 1) (х + 1)³ + 3 (х— 1)² (х + 1)² = (х— 1)(х + 1)²(5х— 1).

1) Решаем уравнение f'(х) = 0. Его корни (расположенные в порядке возрастания) будут:

х₁ = — 1, х₂ = ¹/₅; х₃ = 1. (2)

2) Представив производную в виде

f(х) = 5 (х + 1)² (х – ¹/₅) (х - 1), (3)

исследуем каждое из критических значений.

а) При х < —1 все три двучлена формулы (3) отрицательны, так что слева от х = — 1 имеем:

f '(х) = 5 (-)²(-)(-) = +. (4)

Пусть аргумент перешел через значение х₁= — 1, но не дошел до следующего критического значения х₂ = ¹/₅. Тогда двучлен х + 1 стал положителен, а два других двучлена формулы (3) остаются отрицательными, и мы имеем: f '(х) = 5 (+)² (-)(-) = +. (5)

Сравнив (4) и (5), видим, что при переходе

Рис. 11 через критическое значение х₁= -1 производная не меняет знака, оставаясь положительной. Значит, в точке х =-1 экстремума нет; здесь функция f(x) возрастает (рис. 11).

б) Исследуем ближайшее большее критическое значение х₂ = ¹/₅. В достаточной близости слева (т. е. между х₁ = — 1 и х₂ = ¹/₅) производная в силу (5) положительна. В достаточной близости справа (между х₁ = ¹/₅ и х₂ = +1) второй сомножитель положителен, и мы имеем:

f ' (х) = 5 (+)²(+) (-) = - . (6)

Сравнив (5) и (6), видим, что знак производной при переходе через х₂ = ¹/₅ меняется с плюса на минус [функция f(х) от возрастания переходит к убыванию]. Значит, в точке x = ¹/₅ функция имеет максимальное значение; оно равно f (¹/₅) = (¹/₅ – 1)² (¹/₅ + 1) ~ 1,1.