86248 (Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин), страница 2

Единственный недостаток метода – ограниченность количества псевдослучайных чисел, так как если последовательность чисел вычисляется на ЭВМ по формуле вида

то эта последовательность обязательно периодическая. Впрочем, для наиболее распространённых псевдослучайных чисел период столь велик, что превосходит любые практические потребности. Подавляющее большинство расчётов по методу Монте-Карло осуществляется с использованием псевдослучайных чисел.

Значения любой случайной величины можно получить путём преобразования значений одной какой-либо случайной величины. Обычно роль такой случайной величины играет случайная величина , равномерно распределённая в . Процесс нахождения значения какой-либо случайной величины путём преобразования одного или нескольких значений называется разыгрыванием случайной величины .

Допустим, что необходимо получать значения случайной величины , распределённой в интервале , с плотностью . Докажем, что значения можно находить из уравнения

(1.10)

т.е. выбрав очередное значение , надо решить уравнение (1.10) и найти очередное значение .

Для доказательства рассмотрим функцию

.

Из общих свойств плотности (1.2), (1.3) следует, что

Значит, функция монотонно возрастает от 0 до 1, и любая прямая , где , пересекает график в одной единственной точке, абсциссу которой мы и принимаем за . Таким образом, уравнение (1.10) всегда имеет одно и только одно решение.

Выберем теперь произвольный интервал , содержащийся внутри . Точкам этого интервала отвечают ординаты кривой , удовлетворяющие неравенству .

Поэтому, если принадлежит интервалу , то принадлежит интервалу , и наоборот. Значит

Так как равномерно распределена в , то

,

итак

,

а это и означает, что случайная величина , являющаяся корнем уравнения (1.10), имеет плотность вероятностей .

Может оказаться, что разрешить уравнение (1.10) относительно трудно, например, в случаях, когда интеграл от не выражается через элементарные функции или когда плотность задана графически. Предположим, что случайная величина определена на конечном интервале и плотность её ограничена .

Разыгрывать значение можно следующим образом:

1) выбираются два значения и случайной величины и строится случайная точка с координатами

2) если точка лежит под кривой , то полагаем , если же точка лежит над кривой , то пара отбрасывается и выбирается новое значение.

1.2 Вычисление интегралов

Рассмотрим функцию , заданную на интервале , требуется приближенно вычислить интеграл

(2.1)

Этот интеграл может быть несобственным, но абсолютно сходящимся.

Выберем произвольную плотность распределения , определённую на интервале . Наряду со случайной величиной , определённой в интервале с плотностью , необходимо определить случайную величину

Согласно соотношению получим

Рассмотрим теперь одинаковых независимых случайных величин и применим к их сумме центральную предельную теорему. Формула (1.7) в этом случае запишется так:

Последнее соотношение означает, что если выбирать значений , то при достаточно большом

(2.2)

Оно показывает также, что с очень большой вероятностью погрешность приближения (2.2) не превосходит .

Для расчёта интеграла (2.1) можно использовать любую случайную величину . Определённую в интервале с плотностью . В любом случае . Однако дисперсия , а с ней и оценка погрешности формулы (2.2) зависят от того, какая величина используется, так как

(2.3)

Докажем, что это выражение будет минимальным тогда, когда пропорциональна .

Для этого воспользуемся неравенством

, в которым положим , . Получим неравенство

(2.4)

Из (2.3), (2.4) следует, что

(2.5)

Остается доказать, что нижняя граница дисперсии (2.5) реализуется при выборе плотности . Так как

.

Следовательно,

,

и правая часть (2.3) обращается в правую часть (2.5)

Использовать плотность для расчёта практически невозможно, так как для этого нужно знать значение интеграла . А его вычисление представляет собой задачу, равноценную задаче о вычислении интеграла (2.1). Поэтому ограничиваются следующей рекомендацией: желательно, чтобы плотность была пропорциональна .

Конечно, выбирать очень сложные нельзя, так как процедуры разыгрывания станет очень трудоёмкой. Оценку (2.2) с плотностью , сходной , называют существенной выборкой.

Также если стоит задача вычислить интеграл (2.1), преобразуем его к виду

(2.6)

Если теперь обозначить (2.7)

То интеграл принимает вид

(2.8)

и может быть вычислен при помощи метода статистических испытаний.

В частном случае, если и конечны или их можно считать конечными приближенно, в качестве целесообразно выбрать равномерный закон распределения.

Как известно, плотность вероятности равномерного закона распределения в интервале равна:

(2.9)

Подставим в интеграл (2.6) значение из формулы (2.9) и получим:

(2.10)

и рассмотрим процедуру вычисления:

из множества равномерно распределённых случайных чисел выбирается . Для каждого значения вычисляется , затем вычисляется среднее значение

(2.11)

функции на интервале

Таким образом, величина интеграла (2.10) может быть представлена в виде следующей формулы

(2.12)

Рассмотренный частный случай находит широкое применение интегралов методом статистического моделирования в силу того, что границы области определения могут быть легко приведены к пределам интегрирования

1.3 Вычисление кратных интегралов

Обычно при вычислении кратных интегралов методом Монте-Карло используют один из двух способов.

Первый способ.

Пусть требуется вычислить кратный интеграл

(3.1)

по области G, лежащей в мерном единичном кубе

Выберем равномерно распределённых на отрезке последовательностей случайных чисел

Тогда точки можно рассматривать как случайные, равномерно распределённые в мерном единичном кубе.

Пусть из общего числа случайных точек точек попали в область G, остальные оказались вне G. Тогда при достаточно большом имеет место приближенная формула:

(3.2)

где под понимается мерный объём области интегрирования. Если вычисление объёма затруднительно, то можно принять , и для приближенного вычисления интеграла получим:

(3.3)

Указанный способ можно применить к вычислению кратных интегралов и для произвольной области , если существует такая замена переменных, при которой новая область интегрирования будет заключена в мерном единичном кубе.

Второй способ.

Если функция , то интеграл (3.1) можно рассматривать как объём тела в мерном пространстве, т.е.

(3.5)

где область интегрирования определяется условиями

Если в области , то введя новую переменную , получим

где область лежит в единичном мерном кубе

Возьмём равномерно распределенных на отрезке случайных последовательностей

Составим соответствующую последовательность случайных точек

Пусть из общего числа случайных точек точек принадлежат объёму , тогда имеет место приближенная формула

(3.6)

2. Практическая часть

2.1 Пример 1

Вычислим приближенно интеграл

Точное значение его известно:

Используем для вычисления две различные случайные величины , с постоянной плотностью (т.е. равномерна распределена в интервале ) и с линейной плотностью .Линейная плотность более соответствует рекомендации о пропорциональности и . Поэтому следует ожидать, что второй способ вычисления даст лучший результат.

1) Пусть , формула для разыгрывания имеет вид . А формула (2.2) примет вид .

Пусть . В качестве значений используем тройки чисел из табл. 1 (см. приложение), умноженные на 0.001. Промежуточные результаты сведены в табл. 2.1. Результат расчёта

Таблица 2.1

2) пусть теперь . Для разыгрывания используем формулу

,

откуда получаем