86248 (Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин), страница 3

формула (2.2) имеет вид

Пусть . Числа выберем те же, что и в случае 1. Промежуточные результаты сведены в табл. 2.2. Результат расчёта

Таблица 2.2

Как и ожидалось, второй способ вычислений дал более точный результат.

3) По значениям, приведённым в таблицах (2.1) и (2.2) можно приближенно сосчитать дисперсии для обоих методов расчёта:

для 1:

для 2:

Несмотря на то, что значение невелико и приближенная нормальность оценки (2.2) не гарантирована, вычислим для обоих методов величины . Получим значения 0.103 и 0.027. Также фактические абсолютные погрешности при расчёте , равные 0.048 и 0.016, – величины того же порядка. Точные же значения в рассмотренном примере равны 0.233 и 0.0166. Таким образом, и при оценке дисперсий метод 2 оказался точнее метода 1.

2.2 Пример 2

Рассмотрим пример:

Требуется вычислить интеграл

(3.4)

где область G задаётся следующими неравенствами:

Область интегрирования принадлежит единичному квадрату . Для вычисления интеграла воспользуемся таблицей случайных чисел (см. приложение), при этом каждые два последовательных числа из этой таблицы примем за координаты случайной точки .

Записываем координаты и случайных точек в табл. 3.1, округляя до 3 знаков после запятой, и выбираем те из них, которые принадлежат области интегрирования.

Заполним табл. 3.1 по правилу:

1) Среди всех значений выделяем те, которые заключены между и .Для этих значений полагаем , для всех остальных

2) Среди всех значений . Соответствующих выделенным , выбираем те, которые заключены между

Для этих значений полагаем , для всех остальных

Таблица 3.1

3) Вычисляем . Области тнтегрирования принадлежат только те точки, для которых . В примере

4) Вычисляем значения подынтегральной функции в полученных точках.

После заполнения табл. 3.1 вычисляем площадь области интегрирования и по формуле (3.2) находим

Для сравнения приведём точное значение интеграла

Результат имеет сравнительно небольшую точность потому, что число точек недостаточно велико.

2.3 Пример 3

Рассмотрим пример: найдём приближенно объём, ограниченный поверхностями

Искомый объём численно равен величине интеграла

(3.7)

Так как в области V , вводим новую переменную , в результате чего интеграл (3.7) переходит в интеграл

(3.8)

где область, ограниченная поверхностями

т.е. принадлежит единичному кубу .

Берём теперь три равномерно распределенные на отрезке последовательности случайных чисел и записываем их в качестве координат случайных точек в табл. 3.2. Затем проверяем, какие из этих точек принадлежат области .

Таблица 3.2

Заполним табл. 3.2 по правилу:

1. выделяем точки, у которых , и полагаем для них

2. среди выделенных точек области принадлежат те, для которых выполняется неравенство .

Для этих точек , для остальных

1. вычисляем . Области принадлежат те точки, для которых

2. среди точек, у которых , области принадлежат те точки, координаты которых удовлетворяют неравенству