Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра ТВ и матстатистики

Курсовая работа

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП

Исполнитель:

Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.

Гомель 2007

Содержание

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

- пустое множество;

- множество всех для которых выполняется условие ;

- множество всех натуральных чисел;

- множество всех простых чисел;

- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число - любое число вида ;

Пусть - группа. Тогда:

- порядок группы ;

- порядок элемента группы ;

- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

- множество всех простых делителей порядка группы ;

- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

-группа - группа , для которой ;

-группа - группа , для которой ;

- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;

- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

- -ый коммутант группы ;

- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;

- -холловская подгруппа группы ;

- силовская -подгруппа группы ;

- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;

- группа всех автоморфизмов группы ;

- является подгруппой группы ;

- является собственной подгруппой группы ;

- является максимальной подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;

- является нормальной подгруппой группы ;

- подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;

- индекс подгруппы в группе ;

;

- централизатор подгруппы в группе ;

- нормализатор подгруппы в группе ;

- центр группы ;

- циклическая группа порядка ;

- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .

Если и - подгруппы группы , то:

- прямое произведение подгрупп и ;

- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;

- и изоморфны.

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

, где .

Группу называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;

-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.

разрешимой, если существует номер такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .

Минимальная нормальная подгруппа группы - неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

- цоколь группы .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

- класс всех групп;

- класс всех абелевых групп;

- класс всех нильпотентных групп;

- класс всех разрешимых групп;

- класс всех -групп;

- класс всех сверхразрешимых групп;

Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть - некоторый класс групп и - группа, тогда:

- -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если - формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .

Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых , т.е. .

Пусть - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если .

Подгруппы и группы называются перестановочными, если .

Пусть - максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом .

Пусть - группа и - различные простые делители порядка группы . Тогда группа называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы , такие что - силовская -подгруппа группы и подгруппа нормальна в для всех .

Введение

В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа группы квазинормальна в , если перестановочна с любой подгруппой из (т.е. для всех подгрупп из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место , а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .

Понятно, что если подгруппа группы нормальна в , то в всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие:

Таким образом, условие является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию были названы -нормальными. В этой же работе была построена красивая теория -нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.

В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.

Определение. Подгруппа группы называется слабо квазинормальной в подгруппой, если существует такая подгруппа группы , что и , - квазинормальные в подгруппы.

Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни -нормальной.

Пример. Пусть

,

где . И пусть , . Тогда и . Пусть - группа простого порядка 3 и , где - база регулярного сплетения . Поскольку , и - модулярная группа, то квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в .

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.