Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

Определение. Подгруппа группы называется слабо нормальной в подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа группы , что и .

Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.

Пусть - группа и . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда слабо нормальная подгруппа в группе тогда и только тогда, когда - слабо нормальная подгруппа в группе .

(2) Если - слабо нормальная в подгруппа, то - слабо нормальная в подгруппа.

(3) Пусть - нормальная в подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в подгрупп таких, что , - слабо нормальная подгруппа в группе .

Доказательство. (1) Пусть - слабо нормальная в подгруппа и - такая квазинормальная в подгруппа, что

Тогда , - квазинормальная в подгруппа и . Значит, - слабо нормальная в подгруппа.

Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в подгруппы мы имеем и

Ясно, что

Поскольку

то

и - квазинормальные в подгруппы. Следовательно, - слабо нормальная в подгруппа.

Утверждение (2) очевидно.

(3) Пусть - слабо нормальная подгруппа в группе и - квазинормальная в подгруппа такая, что и . Ясно, что и

Значит, слабо нормальна в и ввиду (1), - слабо нормальная в подгруппа.

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.

Группа разрешима тогда и только тогда, когда , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .

Пусть - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) - разрешима;

(2) , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо квазинормальны в ;

(3) , где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .

Группа метанильпотентна тогда и только тогда, когда , где подгруппа -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Доказательство. Допустим, что , где - -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Покажем, что группа метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.

(1) не является нильпотентной группой.

Предположим, что нильпотентна. Так как ввиду леммы Error: Reference source not found(3), субнормальна, то содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе из по лемме Error: Reference source not found(2). Тогда

нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (1).

(2) .

Допустим, что . Тогда ввиду леммы Error: Reference source not found, нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).

(3) Если - абелева минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то метанильпотентна.

Пусть - -группа и - силовская -подгруппа в . Тогда и поэтому по лемме Error: Reference source not found каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Поскольку по лемме Error: Reference source not found, -квазинормальна в ,

то условия теоремы справедливы для . Так как , то ввиду выбора группы , метанильпотентна.

(4) Условия теоремы справедливы для (это проямо следует из леммы Error: Reference source not found).

(5) разрешима.

Если , то метанильпотентна по (4)и выбору группы . Пусть теперь . Предположим, что для некоторой силовской подгруппы из мы имеем . Тогда ввиду (3), разрешима. Пусть теперь для каждой силовской подгруппы группы . Тогда по условию каждая силовская подгруппа из имеет квазинормальной дополнение в и поэтому нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы доказывает (5).

(6) В группе имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа , содержащаяся в .

Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3), метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см. Error: Reference source not found), то - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в .

(7) Если -группа, то каждая силовская -подгруппа из , где , имеет квазинормальное дополнение в .

Пусть - силовская -подгруппа в , где . Тогда ввиду (6), . По условию, слабо нормальна в и поэтому имеет квазинормальную подгруппу , такую что и

Заключительное противоречие.

Пусть - силовская -подгруппа в и . Тогда

По условию имеет квазинормальную подгруппу , такую что и

Тогда

и поэтому - дополнение для в , которое является квазинормальной в подгруппой. Если - -подгруппа из , где , то ввиду (7), имеет дополнение в , которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы Error: Reference source not found). Тогда по лемме Error: Reference source not found, нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы .

Обратно, предположим, что метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда имеет силовскую подгруппу , которая не является слабо нормальной в . Пусть - произвольная минимальная нормальная подгруппа в и - подгруппа Фиттинга группы . Предположим, что . Тогда слабо нормальна в и поэтому по лемме Error: Reference source not found(1), слабо нормальна в , противоречие. Значит, и поэтому

Так как по условию метанильпотентна и - силовская подгруппа в , то имеет нормальное дополнение в . Но поскольку и - -группы, то - нормальное дополнение для в . Следовательно, слабо нормальна в . Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Пусть - группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) - метанильпотентна;

(2) , где подгруппа субнормальна в , - абелева холлова подгруппа в и каждая силовская подгруппа из слабо квазинормальна в ;

(3) , где подгруппа -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Пусть , где подгруппа -квазинормальна в , нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из слабо нормальна в . Тогда сверхразрешима.

Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , сверхразрешима.

Пусть , где . Тогда

где нильпотентна и -квазинормальна в . Так как по лемме Error: Reference source not found(2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).

(2) Пусть - неединичная нормальная подгруппа в . Предположим, что -группа. Допустим, что содержит силовскую -подгруппу из , или циклична, или . Тогда сверхразрешима.

Если , то

нильпотентна. Пусть теперь . Так как , то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

где -квазинормальна в и нильпотентна. Пусть силовская -подгруппа из и - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что - силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы Error: Reference source not found. Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и , то

Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем

где

Тогда

Так как - максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то

что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно, - максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,