86032 (612623), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3) и сверхразрешима.

По выбору группы , и поэтому сверхразрешима согласно (1).

(4) - разрешимая группа.

По условию -квазинормальна в и поэтому по лемме Error: Reference source not found(3), содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как группа нильпотентна, то разрешима.

(5) Если - простое число и , то .

Пусть . Тогда ввиду (2), сверхразрешима. Если - множество всех простых делителей порядка группы , то по лемме Error: Reference source not found(1), , где - нормальная -подгруппа группы и поэтому

сверхразрешима. Но тогда

сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (5).

(6) .

Допустим, что . Тогда по лемме Error: Reference source not found, нильпотентна. Пусть - силовская -подгруппа из . Так как ввиду леммы Error: Reference source not found(3) субнормальна в , то субнормальна в . Тогда , согласно лемме Error: Reference source not found(1). Но тогда ввиду (2), сверхразершима и поэтому , по выбору группы . Так как и

нильпотентно, то - силовская -подгруппа из . Пусть - холлова -подгруппа из и . По лемме Error: Reference source not found, нормальна в и поэтому . Допустим, что для некоторого простого делителя порядка , отличного от , мы имеем . Тогда нормальна в и поэтому - нормальная подгруппа в , поскольку . Но тогда , что противоречит (5). Следовательно, и поэтому . Согласно теореме Error: Reference source not found, сверхразрешима и поэтому - абелева группа, экспонента которой делит , согласно леммы Error: Reference source not found. Но тогда - абелева группа экспоненты, делящей и поэтому сверхразрешима, согласно леммы Error: Reference source not found. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (6).

Заключительное противоречие.

Пусть - минимальная нормальная подгруппа в , содержащаяся в . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа группы . В силу (2), сверхразрешима и поэтому - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Ясно, что и . Значит, по лемме Error: Reference source not found для некоторой максимальной подгруппы из мы имеем . Ясно, что и поэтому по условию имеет дополнение в , которое является квазинормальной в подгруппой. Тогда

и поэтому . Но тогда

и поэтому, ввиду минимальности , . Ввиду (5), имеет холлову -подгруппу. Так как в силу леммы Error: Reference source not found(3), субнормальна в , то каждая холлова -подгруппа группы содержится в . Следовательно, - -группа. Отсюда следует, что

сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Группа дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в .

Доказательство. Пусть , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в . Покажем, что группа дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , дисперсивна по Оре.

Пусть , где . Тогда

где дисперсивна по Оре и квазинормальна в . Так как по лемме Error: Reference source not found(2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).

(2) Пусть - неединичная нормальная подгруппа в , являющаяся -группа для некоторого простого числа . Допустим, что либо содержит силовскую -подгруппу из , либо циклична, либо . Тогда дисперсивна по Оре.

Если , то

дисперсивна по Оре. Пусть теперь . Так как , то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

где квазинормальна в и дисперсивна по Оре. Пусть силовская -подгруппа из и - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что - силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы Error: Reference source not found. Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и , то

Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем

где

Тогда

Так как - максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то , что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно, - максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,

слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3) Если - простое число и , то .

Пусть

Тогда ввиду (2), дисперсивна по Оре. С другой стороны, если - множество всех простых делителей , то ввиду леммы Error: Reference source not found(3) и леммы Error: Reference source not found, , где - нормальная -подгруппа в и поэтому

дисперсивна по Оре. Но тогда

дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).

(4) разрешима.

По условию квазинормальна в и поэтому ввиду леммы Error: Reference source not found(3) и леммы Error: Reference source not found, содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как

дисперсивна по Оре, то разрешима.

(5) .

Предположим, что . Тогда согласно лемме Error: Reference source not found, нильпотентна. Пусть - силовская -подгруппа группы . Поскольку субнормальна в , то субнормальна в . Значит, по лемме Error: Reference source not found, . Но ввиду (2), дисперсивна по Оре и поэтому по выбору группы , . Пусть - наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть - наибольший простой делитель , - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Если , то - силовская -подгруппа группы и поэтому дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что дисперсивна по Оре, противоречие. Следовательно, . Но тогда -группа. Пусть - силовская -подгруппа в . Тогда - силовская -подгруппа в . Поскольку - подгруппа группы и ввиду (1), дисперсивна по Оре, то . Так как дисперсивна по Оре, то и поэтому . Следовательно, группа дисперсивна по Оре. Полученное противоречие доказывает (5).

Заключительное противоречие.

Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа группы . Ввиду (2), дисперсивна по Оре. Пусть - наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть - наибольший простой делитель , - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Рассуждая как выше видим, что . Но тогда -группа. Значит, и поэтому дисперсивна по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Заключение

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам. Следует отметить, что получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны в группе . Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе мы устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия слабой квазинормальности.

Основные результаты данной работы:

- доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;

- найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп;

- получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп;

- найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп.

Литература

Характеристики

Список файлов курсовой работы