85688 (Клеточные пространства), страница 2

С │

с характеристическими отображениями

C С .

2.3 Многообразия Грассмана

Описываемое ниже клеточное разбиение многообразий Грассмана очень важно для геометрии и топологии (особенно для теории характеристических классов). Составляющие его клетки называются клетками Шуберта, а само оно называется шубертовским.

Пусть - произвольная конечная (возможно, пустая) невозрастающая последовательность целых положительных чисел, не превосходящих k, причем s ≤ n - k. Обозначим через e ( ) подмножество пространства G (n,k), составленное из подпространств пространства R , удовлетворяющих следующим условиям (мы полагаем =0):

R при m ≤ k - m ;

codim ( R ) =о при ;

R при m ≤ k + s + 1

(мы считаем, что R^a R при a < b: ). Приведем другое, более простое описание множества e ( ). Напомним, что диаграмма Юнга набора - это фигура, которая рисуется на клетчатой бумаге, как показано на рис.4а (столбцы имеют длины ).

Число клеток диаграммы Юнга равно . Можно считать, что клетки пространства G (n,k) отвечают диаграммам Юнга, вмещающимся в прямоугольник k (n - k) (рис.4а). Рассмотрим диаграмму Юнга набора и расположим ее, как показано на рис.4б. Толстая линия на этом рисунке представляет собой график некоторой неубывающей функции , и множество e ( ) задается условием dim ( R ) = (m). Ввиду наличия такого простого описания, множество e ( ) обозначают иногда через е ( ), где - обозначение для диаграммы Юнга набора ( ). Еще раз заметим, что размерность клетки е ( ) равна числу клеток диаграммы .

Лемма. Множество e ( ) гомеоморфно R .

Доказательство. Расчленим диаграмму Юнга набора ( ), как показано на рис.4в. Поставим в клетках вдоль косых линий единицы, в Заштрихованные клетки - произвольные числа и в остальные места - нули. Получится k n-матрица, строки которой составляют базис некоторого k-мерного подпространства пространства R . Легко понять, что это подпространство принадлежит e ( ) и что всякое подпространство, принадлежащее e ( ), обладает единственным базисом указанного вида. Получаем параметризацию клетки e ( ) наборами из чисел (числа в заштрихованных клетках).

Рис.4

На самом деле верно больше: множества e ( ) составляют клеточное разбиение пространства G (n, k). Для доказательства нужно построить характеристические отображения, т.е. продолжить построенные гомеоморфизмы Int R e ( ) до непрерывных отображений G (n, k), отображающих сферу в объединение клеток меньших размерностей.

Замечательное свойство шубертовских клеток состоит в том, что при естественных вложениях G (n, k) в G (n+1, k) ив G (n+1, k+1) клетка e ( ) гомеоморфно накладывается на клетку того же наименования. Следовательно, пространство G ( ,k) разбивается на клетки Шуберта, отвечающие диаграммам Юнга, содержащимся в горизонтальной полуполосе высоты k, а пространство G ( , ) разбивается на клетки, отвечающие всем без исключения диаграммам Юнга. Во всех случаях размерности клеток равны числам клеток диаграмм Юнга.

Комплексные и кватернионные аналоги шубертовских клеток очевидны; разумеется, размерности комплексных и кватернионных аналогов клеток Шуберта соответственно в 2 и 4 раза превосходят числа клеток соответствующих диаграмм Юнга.

2.4 Многообразия флагов

Многообразия флагов имеют естественное клеточное разбиение, обобщающее шубертовское разбиение многообразий Грассмана. Это разбиение и его клетки также называются шубертовскими. Опишем разбиение в вещественном случае (комплексный и кватернионный случаи отличаются только удвоением и учетверением размерностей клеток).

Шубертовские клетки многообразия флагов характеризуются наборами размерностей пересечений V R . Числа , однако, должны удовлетворять набору довольно неудобных условий, и мы предпочтем следующее, более рациональное описание клеток Шуберта.

Клетки пространства F (n; ) отвечают наборам целых чисел, принимающих значения 1,…, s + 1, причем ровно из этих чисел равны j (j=1,…, s+1; мы считаем, что k =0 и k =n). Клетка е [ ], отвечающая набору ( ), состоит из флагов V V , у которых

dim {

(мы считаем, что V =0 и V есть все пространство R ) или, иначе,

dim (V R ) = card {р ≤ i│k_p ≤ j }.

Размерность клетки е [ ] равна числу пар (i, j), для которых i > .

В частности, многообразие F (n; 1,…,n-1) полных флагов разбито на n! клеток, отвечающих обыкновенным перестановкам чисел 1,…, n, причем размерность клетки равна числу инверсий в перестановке.

Если многообразие флагов есть многообразие Грассмана G (n, k), то s = 1 и набор состоит из k единиц и n-k двоек. Построим по этому набору n-звенную ломаную на плоскости, начинающуюся в точке (0, k) и кончающуюся в точке (n-k, 0). Все звенья ломаной имеют длину 1, причем i-e звено направлено вниз, если = 1, и вправо, если = 2. Эта ломаная ограничивает (вместе с координатными осями) некоторую диаграмму Юнга , и легко понять, что е [ ] = е ( ).

Заметим в заключение, что клетки е [ ] (и их комплексные и кватернионные аналоги) могут быть описаны чисто групповым образом: это - орбиты группы нижних треугольных n n-матриц с единицами на диагонали, естественным образом действующей в многообразии флагов. Именно, клетка е [ ] есть орбита флага, i-е пространство которого порождено координатными векторами, номера р которых удовлетворяют неравенству < i.

2.5 Классические поверхности

Клеточные разбиения поверхностей S² и RP² нами уже построены. Клеточные разбиения остальных поверхностей без края автоматически получаются при склеивании этих поверхностей из многоугольников: двумерная клетка получается из

внутренности многоугольника, одномерные клетки - из его (открытых) ребер, нульмерные клетки - из его вершин. Каноническое клеточное разбиение каждой классической поверхности имеет одну двумерную и одну нульмерную клетку. Кроме того, сфера с g ручками имеет 2g одномерных клеток (см. рис.5), проективная плоскость с g ручками имеет 2g +1одномерную клетку и бутылка Клейна с g ручками имеет 2g +2 одномерных клеток.

Рис.5

3. Гомотопические свойства клеточных пространств

3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий

Определение. Пара (X, А) называется парой Борсука (или корасслоением), если для любого пространства Y и любого непрерывного отображения F: Х Y всякая гомотопия f_t: А Y, такая, что f = F│ _А, может быть продолжена до гомотопий F_t: Х Y, у которой F₀ = F.

Теорема Борсука. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то (X, А) - пара Борсука.

Доказательство. Нам даны отображения Ф: А I Y (гомотопия f_t) и F: X 0 Y, причем F │ = Ф│ . Продолжить гомотопию f_t до гомотопий F_t - это значит продолжить отображение F до отображения F’: X I Y, такого, что F’ │ = Ф. (Продолжение мы произведем индуктивно по размерности клеток пространства X, не входящих в А. Начальным шагом индукции служит продолжение отображения Ф на (A X ) I:

F’ (x, t) ={

Допустим теперь, что отображение F' уже определено на (A X ) I. Возьмем произвольную (n+ 1) - мерную клетку e Х - A. По предположению, F' задано на множестве ( ) I, так как граница = клетки содержится в X по определению клеточного пространства. Пусть f: D X - характеристическое отображение, соответствующее клетке . Нам надо продолжить F' на внутренность "цилиндра" f (D ) I с его "стенки" f (S ) I и "дна" f (D ) 0. Но из определения клеточного пространства ясно, что это все равно, что продолжить отображение F’ f: (S I) (D 0) Y до непрерывного отображения ': D I Y.

Пусть : D I (S I) (D 0) - проектирование цилиндра D I из точки, лежащей вне цилиндра вблизи верхнего основания D I (см. Рис.6); это отображение тождественно на (S I) (D 0). Отображение ' мы определяем как композицию

D I (S I) (D 0) Y.

Эту процедуру можно проделать независимо для всех (n + 1) - мерных клеток пространства X, и мы получаем продолжение отображения F' на (A X ) I.

Рис.6

Так, остов за остовом, мы строим желаемое продолжение отображения Ф до отображения F: X I Y. Подчеркнем, что если пространство X бесконечномерно, то наше индуктивное построение будет состоять из бесконечного числа шагов; в этом случае непрерывность окончательного отображения будет следовать из аксиомы (W). Теорема доказана.

3.2 Следствия из теоремы Борсука

Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X.