85688 (Клеточные пространства)

Содержание

Введение

1. Основные определения

1.1Терминологические замечания

1.2 Комментарии к определению клеточного пространства

2. Клеточные разбиения классических пространств

2.1 Сферы и шары

2.2 Проективные пространства

2.3 Многообразия Грассмана

2.4 Многообразия флагов

2.5 Классические поверхности

3. Гомотопические свойства клеточных пространств

3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий

3.2 Следствия из теоремы Борсука

3.3 Теорема о клеточной аппроксимации

3.4 Доказательство леммы о свободной точке

3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации

Заключение

Список использованных источников

Введение

В системе высшего образования весьма значительную роль играет гомотопическая топология, которая почти никогда не рассматривает совершенно произвольных топологических пространств. Обычно она изучает пространства с той или иной дополнительной структурой, причем со времен основоположника топологии Анри Пуанкаре рассматривают структуры двух типов. Первый тип - структуры аналитического происхождения: дифференциальная, риманова, симплектическая и т.д. Структуры второго, более важного для нас типа - комбинаторные структуры. Они заключаются в том, что пространство расчленено на более или менее стандартные, и изучение пространства сводится к изучению взаимного расположения этих частей.

Одна из важнейших из комбинаторных структур - клеточная структура. В гомологии она является эффективным вычислительным средством.

Данная работа посвящена изучению клеточной структуры, приведению некоторых теорем, свидетельствующие о полезности понятия клеточного пространства для гомотопической топологии., а так же подтверждающие необходимость изучения рассмотренной темы и всей топологии в целом, как основы для систематизации знаний по многим разделам высшей математики.

1. Основные определения

Клеточное пространство - это хаусдорфово топологическое пространство К, представленное в виде объединения попарно непересекающихся множеств ("клеток") таким образом, что для каждой клетки существует отображение q-мерного шара в К (характеристическое отображение, отвечающее клетке ), сужение которого на внутренность Int шара представляет собой гомеоморфизм Int ≈ . При этом предполагаются выполненными следующие аксиомы.

(С) Граница = − клетки содержится в объединении конечного числа клеток с r < q.

(W) Множество F К замкнуто тогда и только тогда, когда для любой клетки замкнуто пересечение F .

(Иногда характеристические отображения считаются фиксированными, т.е. рассматриваются как элемент структуры. Разумеется, такая модификация определения будет явно оговариваться)

1.1Терминологические замечания

1. Термин "клеточное пространство" не является абсолютно общепринятым: говорят также "клеточное разбиение" или "клеточный комплекс" или "CW-комплекс". Выражение "клеточное разбиение" мы будем употреблять как синоним выражения "разбиение пространства на клетки"; термин же "комплекс" будет у нас употребляться исключительно в алгебраическом значении.

2. Обозначения аксиом (С) и (W) являются стандартными; они происходят от английских слов "closure finite" и "weak topology".

Клеточное подпространство клеточного пространства K - это замкнутое его подмножество, составленное и целых клеток; клеточные подпространства являются самостоятельными клеточными пространствами. Важнейшие клеточные подпространства клеточного пространства - его остовы: n-й остов есть объединение всех клеток размерности n (по определению, размерность клетки равна q). Стандартные обозначения для n-го остова пространства или X. Кстати, некоторые говорят "n-мерный остов", но это неправильно: размерность клеточного пространства определяется как верхняя грань размерностей его клеток, и, очевидно, размерность n-го остова меньше или равна n. Клеточное пространство называется конечным (счетным), если оно состоит из конечного (счетного) числа клеток.

Заметим, что для конечных клеточных пространств аксиомы (С) и (W) проверять не нужно: они выполняются автоматически.

1.2 Комментарии к определению клеточного пространства

1. Замыкание клетки может не быть клеточным пространством. Пример: разбиение букета на клетки , и ( ) - делает его клеточным пространством, но если а не есть отмеченная точка окружности , то замыкание последней клетки не является подпространством (см. рис.1).

Рис.1

2. Из (W) не следует (С). Разбиение диска D² на внутренность Int D² и отдельные точки граничной окружности удовлетворяет аксиоме (W) (потому что всегда F Int D ² = F), но не удовлетворяет аксиоме (С).

3. Из (С) не следует (W). Возьмем бесконечное семейство │α=1,2,… копий отрезка I, отождествим нулевые концы и топологизируем получившееся множество при помощи метрики: расстояние между точками , равно , если , и равно , если . Разбиение построенного пространства на множества и оставшиеся точки не удовлетворяет, из условий, входящих в определение клеточного пространства, только аксиоме (W): точки составляют последовательность, сходящуюся к 0, и, значит, незамкнутое множество, но пересечение этой последовательности с замыканием любой клетки замкнуто.

Кстати, если, как это только что было, разбиение пространства на клетки удовлетворяет всем условиям из определения клеточного пространства, кроме аксиомы (W), то можно ослабить в этом пространстве топологию, определив новую топологию при помощи аксиомы (W). Эта процедура называется "клеточным ослаблением топологии".

2. Клеточные разбиения классических пространств

2.1 Сферы и шары

При конечном n имеется два канонических клеточных разбиения сферы . Первое состоит из двух клеток: точки (любой, скажем, (1,0,... ..., 0)) и множества (рис.2а). Характеристическое отображение , отвечающее второй клетке, - это обычное "сворачивание" сферы из шара; годится, например, отображение, действующее по формуле , где (рис.3).

Рис.2

Рис.3

Другое каноническое клеточное разбиение сферы состоит из 2n +2 клеток : клетка состоит из точек , у которых и (рис.2б). Заботиться о характеристических отображениях здесь не приходится: замыкание каждой клетки очевидным образом гомеоморфно шару соответствующей размерности.

Заметим, что оба описанные клеточные разбиения сферы получаются из единственного возможного разбиения сферы (двоеточия) посредством применения канонической конструкции клеточного разбиения надстройки: в первом случае нужно брать надстройку над сферой как над пространством с отмеченной точкой, а во втором случае - обыкновенную надстройку.

Существует, конечно, масса других клеточных разбиений сферы : ее можно разбить на 3ⁿ⁺¹ - 1 клеток как границу (n+1) - мерного куба, на клеток - как границу (n+1) - мерного симплекса и т.п. .

Все описанные клеточные разбиения, кроме самого первого, годятся для сферы .

Клеточное разбиение шара можно получить из любого клеточного разбиения сферы путем присоединения одной клетки Int с характеристическим отображением id: . Наиболее экономное клеточное разбиение шара состоит, таким образом, из трех клеток. Правда, ни одно из этих разбиений не годится для шара .

2.2 Проективные пространства

При отождествлении диаметрально противоположных точек сферы клетки - клеточного разбиения склеиваются между собой и получается (n+1) - клеточное разбиение пространства R , по одной клетке в каждой размерности q≤n. Это же разбиение можно описать так:

R │ .

Еще одно описание этого разбиения: имеется цепочка включений

R R R R ,

и мы полагаем e^q = R - R . Характеристическим отображением для e^q служит композиция канонической проекции D^q R и включения R R . При n= наша конструкция доставляет клеточное разбиение пространства R , содержащее по одной клетке каждой размерности. Конструкция имеет также комплексный, кватернионный и кэлиев аналоги. Она дает: разбиение пространства С на клетки размерностей 0, 2, 4,..., 2n; разбиение пространства H на клетки размерностей 0, 4, 8,..., 4n; разбиение пространства СаР² на клетки размерностей 0,8,16; клеточные разбиения пространств С и H , содержащие по одной клетке в каждой размерности, делящейся, соответственно, на 2 и 4. Например, пространство С разбивается на клетки