85688 (612549), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Доказательство. Обозначим через проектирование X Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия f_t: А А, такая, что отображение f₀: А А тождественно и f (A) есть точка. В силу теоремы Борсука, существует гомотопия F_t: Х Х, такая, что F₀ = id и F_t│_A =f_t. B частности F (A) =* (точка). Это означает, что можно рассматривать как отображение, заданное на Х/А, точнее, что F ⁼ q p, где q: Х/А X - некоторое непрерывное отображение. По построению, F ~F₀, т.е. q p ~ id .

Далее, F_t (А) А (при любом t), т.е. р F_t (А) = *. Следовательно, р F_t = = q_t р, где q_t: Х/А Х/А - некоторая гомотопия. При этом q = id иq = р q; следовательно, р q ~ id .

Следствие доказано.

Следствие 2. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то Х/А ~ X СА, где СА - конус над А.

Доказательство. Х/А = (X СА) /СА ~Х СА; последнее вытекает из предыдущего следствия, примененного к клеточному пространству X СА и его стягиваемому клеточному подпространству СА.

Замечание. Оба доказанных предложения можно рассматривать не как следствия из теоремы Борсука, а как самостоятельные теоремы, только предположения о клеточности X и А нужно тогда заменить в первом случае предположением, что (X, А) - пара Борсука, а во втором случае - предположением, что (X СА, СА) - пара Борсука.

3.3 Теорема о клеточной аппроксимации

Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению.

Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение ("относительный вариант" нашей теоремы).

Теорема. Пусть f - непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространство Y, причем на клеточном подпространстве А пространства X отображение f клеточно. Тогда существует такое клеточное отображение g: X Y, что g│_A =f│_A и, более того, f~g relA.

Поясним запись f~g relA (читается: f гомотопно g относительно А), которой мы будем пользоваться и дальше. Она применяется в ситуации, когда непрерывные отображения f, g: X Y совпадают на подпространстве А пространства X и означает, что существует гомотопия h : Х Y, соединяющая f с g и неподвижная на А, т.е. такая, что h_t (а) не зависит от t при а А. Конечно, из f~ g relА следует, что f ~ g, но не наоборот. Пример: f,g: I S , f - "наворачивание" отрезка на окружность, g - отображение в точку; эти отображения гомотопны, но не гомотопны rel (0 1).

Доказательство теоремы. Предположим, что отображение f уже сделано клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих размерность < р. Возьмем р-мерную клетку е^р X - А. Ее образ f (e^p) пересекается лишь с конечным числом клеток пространства Y (это следует из компактности f ( ^p)). Выберем среди этих клеток пространства Y клетку наибольшей размерности, скажем, , dim = q. Если q≤ р, то нам с клеткой е^р делать нечего. В случае же q >р нам потребуется следующая лемма.

Лемма о свободной точке. Пусть U - открытое подмножество пространства R^p и : U IntD^q - такое непрерывное отображение, что множество V = (d^q) U, где d^q - некоторый замкнутый шарик в IntD , компактно. Если q> р, то существует непрерывное отображение : U Int D^q, совпадающее с вне

V и такое, что его образ не покрывает всего шара d^q.

Доказательство этой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображение автоматически будет гомотопным относительно U - V: достаточно взять связывающую с "прямолинейную" гомотопию, при которой точка (u) равномерно движется к (u) точке по прямолинейному отрезку, соединяющему (u) с (u).

Завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение f│ гомотопно rel (A X ) отображению f’: A X е ^р Y, такому, что f’ (e^p) задевает те же клетки, что и f (e ^р), но заведомо f’ (e^p) не содержит всю клетку . В самом деле, пусть h: D^p Х, k: D^p Y - характеристические отображения, соответствующие клеткам е^р, . Положим U= h (f ( ) е^р) и определим отображение : U Int D^q как композицию:

u x y = (u)

U e f ( ) Int D^q Обозначим через d^q (замкнутый) концентрический подшар шара D^q. Множество V= (d^q) компактно (как замкнутое подмножество шара D^p). Пусть : U IntD^q - отображение, доставляемое леммой о свободной точке. Отображение f' определим как совпадающее с f вне h (U) и как композицию

x u y = f’ (x)

h (U) U Int D^q Y

на h (U). Ясно, что отображение f’ непрерывно (оно совпадает с f на "буферном множестве" h (U - V)) и гомотопно f│ rel (A X ), и даже rel (A X (e -h (V)))) (это вытекает из гомотопности ~ rel (U - V)). Ясно также, что f' (e^p) не покрывает e^q.

Дальнейшее рассуждение совсем просто. Во-первых, неподвижную на A Х гомотопию между f│ и f' мы можем распространить, по теореме Борсука, на все X, и это позволяет считать, что отображение f', обладающее всеми вышеперечисленными свойствами, определено на всем X. После этого мы берем точку у₀ , не принадлежащую f’ (е^р), и подвергаем f'│ "радиальной гомотопии": если точка x e^p не принадлежит f’ ( ),To f' (x) стоит на месте, а если f' (x) , то f’ (x) движется по отрезку, идущему из точки у₀ на границу клетки (точнее говоря, по k-образу прямолинейного отрезка, начинающегося в точке k (у₀) проходящего через точку k (f’ (x)) k (у₀) и кончающегося на граничной сфере S шара D^q). Эту гомотопию мы продолжаем до гомотопии отображения f'│ (неподвижной вне е^р) и - по теореме Борсука - до гомотопии всего отображения f’: Х Y. Получающееся отображение f’’ гомотопно f ге1 (A Х ) и обладает тем свойством, что f’’ (e^p) задевает q-мерных клеток на одну меньше, чем f (е ^р) (и, как и f (e^p), не задевает клеток размерности >q). Применив эту процедуру нужное число раз, мы прогомотопируем отображение f к отображению, клеточному на A Х e^p, причем гомотопия будет неподвижной на A Х .

Теперь заметим, что "исправление" отображения f, которое мы проделали для клетки е^р, можно дословно так же проделать одновременно для всех р-мерных клеток из X - А. Тогда мы придем к отображению, клеточному на A Х^р и гомотопному f rel (A Х ).

Неподвижную на А гомотопию, связывающую отображение f с клеточным отображением, мы получим, если проделаем последовательно построенные гомотопии при р = 0, 1,2,... Правда, число этих гомотопии может быть бесконечно, но это не беда: р-ю гомотопию мы производим на отрезке 1 - 2 ≤t≤ 1 - 2 . Непрерывность всей гомотопии обеспечивается аксиомой (W): для каждой клетки е из X гомотопия будет неподвижной, начиная с некоторого t_e < 1. Теорема доказана.

3.4 Доказательство леммы о свободной точке

Для человека, не испорченного популярной математической литературой, сама формулировка леммы показалась бы нелепой: как же непрерывный образ пространства меньшей размерности может покрыть пространство большей размерности? Но кто же не знает, что это бывает: кривая Пеано, распропагандированная ничуть не меньше, чем, скажем, бутылка Клейна, осуществляет непрерывное (и даже взаимно однозначное) отображение отрезка на квадрат. Поэтому лемму приходится доказывать, и дело осложняется тем, что геометрическая интуиция помочь тут не может, она упорно твердит свое: такое вообще невозможно. С подобными трудностями сталкиваются всякий раз, когда "строгое" определение того или иного понятия (в данном случае - -определение непрерывности) не вполне соответствует исходному интуитивному представлению: приходится вникать в устройство не реального объекта, а химеры. Но ничего не поделаешь - доказать лемму надо.

В основе второго доказательства леммы лежит понятие триангуляции. Напомним, что q-мерный евклидов симплекс есть подмножество пространства R , n ≤ q, являющееся выпуклой оболочкой q + 1 точек, не лежащих в одной (q - 1) - мерной плоскости. (Евклидовы симплексы размерностей 0, 1, 2, 3: точка, отрезок, треугольник, тетраэдр.) Эти q+ 1 точек называются вершинами симплекса. Подсимплексы, т.е. выпуклые оболочки различных подмножеств множества вершин, называются гранями нашего симплекса; это - симплексы размерности ≤q. Нульмерная грань - это вершина. Замечательное свойство симплекса заключается в том, что его линейное отображение в любое пространство R^m определяется своими значениями на вершинах, причем эти значения могут быть совершенно произвольны. Конечная триангуляция подмножества евклидова пространства - это такое его конечное покрытие евклидовыми симплексами, что любые два симплекса либо не пересекаются вовсе, либо пересекаются по целой грани. Удобно считать, что грани симплексов триангуляции также принадлежат к числу симплексов триангуляции.

Барицентрическое подразделение q-мерного симплекса состоит в том, что этот симплекс разбивается на (q + 1) ! более мелких q-мерных симплексов. Вершины новых симплексов - это центры тяжести граней старого симплекса (в том числе - его самого). Множество {х₀, х ,..., x_q) этих центров является множеством вершин некоторого симплекса барицентрического подразделения, если соответствующие грани ₀, ,..., _q можно составить в цепочку последовательно вложенных друг в друга, см. рис.7. (По-другому барицентрическое подразделение q-мерного симплекса можно описать так: сначала подвергаются барицентрическому подразделению все его (q - 1) - мерные грани, а потом над всеми построенными симплексами, лежащими на границе симплекса , строятся конусы с вершиной в центре этого симплекса; начать это индуктивное определение можно с q = 0: с нульмерным симплексом при барицентрическом подразделении ничего не происходит. Еще по-другому: симплекс - его совокупность точек вида , где - вершины, t ≥ 0 и t = 1; симплексы барицентрического подразделения отвечают перестановкам (i₀, i ,..., i_q) чисел 0, 1,..., q; симплекс, отвечающий этой перестановке, состоит из точек

Характеристики

Список файлов курсовой работы