85688 (Клеточные пространства), страница 4

t с .

Барицентрическое подразделение триангуляции - это триангуляция, составленная из симплексов барицентрических подразделений симплексов исходной триангуляции (рис.8).

Обратимся теперь к нашему отображению . Прежде всего мы построим в шарике d = d_q концентрические шарики d , d₂, d₃, d радиусов /5, 2 /5, З /5,4 /5, где -радиус шарика d. Далее, покроем V конечным числом р-мерных симплексов, содержащихся в U, и триангулируем объединение К этих симплексов (объединение конечного числа как угодно пересекающихся евклидовых симплексов в R^p обладает конечной триангуляцией). Применив к этой триангуляции достаточное число

Рис.7 Рис.8

раз барицентрическое подразделение, мы можем добиться того, чтобы для любого симплекса триангуляции выполнялось неравенство diam ( ) < /5. Пусть K₁ - объединение симплексов построенной триангуляции нашего множества К, -образы которых пересекаются с d₄. Тогда d₄ < (U) (K₁) d. Рассмотрим отображение ': К₁ d, совпадающее с на вершинах триангуляции и линейное на каждом симплексе. Отображения │_K и ’ гомотопны - они соединяются прямолинейной гомотопией _t: K₁ d, ₀= │_K, ₁ = ’. Теперь "сошьем" отображения и ’ в отображение : U IntD^q:

(u), если (u) d_3, (u) = ’ (u), если (u) d_{2, 3-5 (u) (}u), если (u) d₃-d₂.

Здесь (u) - расстояние от точки (u) до центра шара d. (См. рис.9)

Рис.9

Отображение непрерывно, совпадает с на U - V и его образ пересекается с d₁ по конечному числу кусков р-мерных плоскостей, т.е. всего шара d₁ (а значит, и всего шара d) не покрывает.

Лемма доказана.

3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации

Теорема. Если X - клеточное пространство с единственной вершиной (= нульмерной клеткой), не имеющее других клеток размерности X гомотопно отображению, переводящему все Y в точку. Такое же утверждение справедливо в категории пространств с отмеченными точками (в клеточной ситуации удобно считать, что отмеченными точками являются нульмерные клетки).

Это прямо следует из теоремы о клеточной аппроксимации: если f: Y X - клеточное отображение, то так как q-й остов пространства Y есть все Y, а q-й остов пространства X есть точка, то f (Y) - точка.

В частности, если m < q, то (S^m, S^q) = _b (S^m, S^q) = 0 (т.е. состоит из одного элемента).

Оп ределение. Пространство X называется n-связным, если при q ≤ n множество (S^q, X) состоит из одного элемента (т.е. если любые два отображения S^q X с q ≤ n гомотопны).

Теорема. Всякое п-связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточному пространству с единственной вершиной и без клеток размерностей 1, 2,..., n.

Доказательство. Выберем в нашем пространстве X вершину е₀ и соединим с ней остальные вершины путями. Это можно сделать, так как пространство n-связно и, в частности, линейно связно. (Пути могут пересекаться) Используя теорему о клеточной аппроксимации, мы можем добиться того, чтобы эти пути лежали в одномерном остове пространства X. Пусть s_i - путь, соединяющий вершину е₀ с вершиной е_i. Приклеим при каждом i к X двумерный диск по отображению нижней полуокружности в X при помощи пути s_i (рис.10).

Рис.10

Получим новое клеточное пространство X, которое будет содержать X и, кроме того, клетки е , е (верхние полуокружности и внутренности приклеенных писков). То, что границы клеток е лежат в одномерном остове, вытекает из того, что этим свойством обладают пути s_i. Ясно, что X есть деформационный ретракт в : каждый Фприклеенный диск можно смять на нижнюю полуокружность.

Обозначим через Y объединение замыканий клеток е_i¹. Очевидно, Y стягиваемо; следовательно, /Y ~ ~ X. Но у /Y всего одна вершина.

Дальнейшее рассуждение совершенно аналогично. Предположим, что X ~ X’, причем X' имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,..., k - 1, где k≤n. В этом случае замыкание каждой k-мерной клетки представ ляет собой k-мерную сферу. Ввиду n-связности X (и, следовательно, X^’) включение этой сферы в X' продолжается до непрерывного отображения (k + 1) - мерного шара, образ которого, ввиду теоремы о клеточной аппроксимации, можно считать лежащим в (k + 1) - м остове пространства X'. По этому отображению (которое мы считаем отображением нижней полусферы (k + 1) - мерной сферы) мы приклеиваем к X'. шар D^k+2, и подобным образом мы поступаем для каждой k-мерной клетки пространства X’. Полученное клеточное пространство ’ гомотопически эквивалентно X’ и содержит стягиваемое подпространство Y - объединение замыканий всех вновь приклеенных (k + 1) - мерных клеток (верхних полусфер приклеенных шаров), содержащее все k-мерные клетки. Имеем: ’ /Y ~ ’ ~ X’ ~ X, ’ /Y имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,...,k.

Следствие. Если клеточное пространство X п-связно, а клеточное пространство Y n-мерно, то множество (Y, X) состоит из одного элемента. Это же верно для _b (Y, X), если X и Y имеют отмеченные точки, являющиеся вершинами.

Замечание. Использованная в доказательстве последней теоремы процедура уничтожения k-мерных клеток предполагает присоединение клеток размерности k + 2. В случае, если заданное n-связное пространство было (n + 1) - мерно, это могло привести к увеличению размерности. В действительности можно доказать, что всякое n-связное клеточное пространство размерности n + 1 гомотопически эквивалентно букету (n + 1) - мерных сфер.

Последняя теорема имеет относительный вариант, для формулировки которого необходимо понятие n-связной пары. Топологическая пара (X, А) называется n-связной, если всякое отображение (Dⁿ, S^n-1) (X, А) гомотопно (как отображение пар) отображению, загоняющему все Dⁿ в А.

Заключение

В данной курсовой работе был собран и обобщен материал, касающийся вопросов, связанных с важнейшей комбинаторной структурой топологии - клеточной структурой.

Цель курсовой работы - изучение основных понятий клеточной структуры топологии, выяснение ее значимости - была достигнута.

Для достижения цели была проработана литература, рассмотрены определение клеточного пространства, клеточные разбиения классических пространств, а также некоторые теоремы о клеточных пространствах.

Результаты проделанной работы могут быть использованы студентами физико-математических факультетов при изучении разделов топологии, а также для анализа и систематизации курсов математического анализа, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и других дисциплин.

Список использованных источников

1. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. - М.: Наука, 1983. - 160 с.

2. Борисович, Ю.Г. Введение в топологию: Учеб. пособие для вузов / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков, Я.А. Израилевич, Т. Н Фоменко - М.: Высш. школа, 1980. - 295 с.

3. Гарднер, М. Математические досуги / М. Гарднер − М.: Мир, 1972. − 496 с.

4. Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. - М. - Л.: ГОНТИ, 1938. - 400 с.

5. Куратовский, К. Топология: В 2 т. / К. Куратовский − М.: Мир, 1966, т. I, − 594 с; 1969, т.П. − 624 с.

6. Рохлин, В.В., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы / В.В. Рохлин, Д.Б. Фукс − М.: Наука, 1977. − 488 с.

7. Спеньер, Э. Алгебраическая топология / Э. Спеньер; перевод с англ. Б.М. Пранова; под ред.А.М. Виноградова - М.: Мир, 1971 - 680с.

8. Стинрод, Н. Чинн У. Первые понятия топологии / Н. Стинрод, У. Чинн − М.: Мир, 1967. − 224 с.

9. Фоменко, А.Т., Фукс, Д.Б. Курс гомотопической топологии: учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. Физ. - мат. Лит., 1989. - 528 с.