85635 (Инвариантные подгруппы бипримарных групп)

_{МИНИСТЕРСТВО} ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Инвариантные подгруппы бипримарных групп

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-41 Таратын В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии Монахов В.С.

Гомель 2006

Содержание

Введение

1. Основные обозначения

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

Заключение

Список литературы

Введение

В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Инвариантные подгруппы бипримарных групп". Цель этой курсовой работы состоит в том, чтобы исследовать существование примарных нормальных подгрупп в бипримарных группах.

Моя курсовая работа состоит из трех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе, что значительно упрощает дальнейшую работу и проверку курсовой.

Во втором пункте было рассказано про инвариантные подгруппы бипримарных групп.

В третьем пункте изложен материал о порядках силовских подгрупп общей линейной группы.

Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема. Пусть - конечная разрешимая группа, порядка , - простое число и не делит . Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , и делит порядок ;

2) , делит порядок , где - простое число, причем , если , и , если ;

3) , 1 и делит порядок .

Теорема. Пусть - группа порядка , и - простые числа. Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , , и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , , и .

Теорема. Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , и .

Теорема. Пусть и - различные простые числа и - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только , когда выполняется одно из условий:

1) , , - любое натуральное число за исключением , , , , , , , , , , , , , , , ;

2) , , - любое натуральное число ;

3) , , - любое натуральное число за исключением , где ; , где - любое целое число, удовлетворяющее неравенству . Для дополнительно исключаются числа , , и ; для дополнительно исключаются и .

Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из девяти источников.

1. Основные обозначения

2. Инвариантные подгруппы бипримарных групп

1. Введение. Две работы (1) и (2), написанные Бернсайдом в 1904 г., посвящены конечным бипримарным группам - группам порядка , и - различные простые числа. В первой работе доказана разрешимость таких групп. Во второй - устанавливался следующий факт: в группе порядка при существует характеристическая -подгруппа порядка , за исключением двух случаев , и , .

Однако группа , являющаяся расширением элементарной абелевой группы порядка с помощью силовской -подгруппы из группы автоморфизмов группы , имеет порядок , и в нет неединичных инвариантных -подгрупп. Этот пример указывает на то, что в работе 2 имеется пробел.

В настоящей работе рассматривается более общая ситуация, чем в 2. А именно, изучаются разрешимые группы порядка , где . Основным результатом является

Теорема 1 Пусть - конечная разрешимая группа, порядка , - простое число и не делит . Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , и делит порядок ;

2) , делит порядок , где - простое число, причем , если , и , если ;

3) , 1 и делит порядок .

Если и - различные простые числа, и - целые положительные числа, то либо , либо . Поэтому теорема 1 распространяется па все бипримарные группы.

Теорема 2 Пусть - группа порядка , и - простые числа. Если , то либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , , и ;

2) , , , причем , если , и , если ;

3) , , и .

Следствие 3 Если и - нечетные простые числа и , то любая группа порядка обладает характеристической -подгруппой порядка .

Следующая теорема показывает, что границы, установленные для чисел и , являются точными и что инвариантной -подгруппы в исключительных случаях теорем (4) и (1) может и не быть.

Теорема 4 Группа порядка , , не имеющая неединичных инвариантных -подгрупп, существует для каждого из следующих трех случаев:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , и .

2. Порядки силовских подгрупп полных линейных групп. На множестве натуральных чисел введем следующую функцию:

где и взаимно просто с . Из определения вытекает, что есть показатель, с которым входит в произведение . Поэтому

где - целая часть числа (см. 4) и - наибольшее число, при котором .

Тогда

Лемма 5 .

Лемма 6 Пусть - показатель, которому принадлежит по модулю , и пусть , не делит . Тогда и только тогда делит , когда кратно . Если , не делит , то, за исключением случая , число есть наивысшая степень , которая делит .

Доказательство. Первое утверждение вытекает из свойств показателей (см. (5)). Вычислим , используя бином Ньютона:

Заметим, что

есть целое число. Действительно, и число делит произведение . Учитывая, что , из леммы 6 получаем, что и делит . Теперь

где - целое число. Так как не делит , то выражение в скобках не делится на , за исключением случая . Лемма доказана.

Исключение , в лемме 6 существенно; легко заметить, что при , лемма 6 неверна. Случай был как раз и пропущен в рассуждениях работы (5).

Лемма 7 Пусть , - нечетное число и - наименьшее целое число, при котором . Пусть . Определим число так: если, , то . если , тo - нечетное число. Тогда

1) если - нечетное число, то ; ;

2) если - четное число и , - нечетное число, то , , где , , и - нечетные числа.

Доказательство. Воспользуемся биномом Ньютона:

Если - нечетное число, то

- нечетное число. Если - четное число, то

- нечетное число.

Пусть теперь - нечетное число . Тогда

где

Ho - нечетное число, поэтому - нечетное число. Так как , если , и , если , то , где - нечетное число.

И наконец, если , . - нечетное число, то

- нечетное число. Лемма доказана.

Лемма 8 Пусть и - различные простые числа, - показатель числа по модулю и , не делит . Пусть , или и - порядок силовской -подгруппы группы . Если , то , где - целое число, удовлетворяющее неравенству . Если , то . Здесь число определяется как и в лемме3.

Доказательство. Порядок группы известен (см.2):

Ясно, что - наивысшая степень , которая делит произведение .

Рассмотрим, вначале случай, когда . Применяя лемму (3), заключаем, что в произведении лишь следующие сомножители кратны :