85635 (Инвариантные подгруппы бипримарных групп), страница 2

где определяется неравенством . Так как есть наивысшая степень , которая делит , где , не делит , то наивысшая степень , которая делит , есть .

Следовательно,

.

Пусть теперь . Тогда и . Заметим, что

Применим индукцию по . Если , то , а так как , и , то утверждение для справедливо.

Предположим, что равенство выполняется для , и докажем его для . Пусть вначале есть нечетное число, т.е. , и . По лемме (4) , - нечетное число. Поэтому . Так как , а , то утверждение для справедливо.

Пусть теперь - четное число. Тогда и . Кроме того, если , не делит , то по лемме 7 , - нечетное число. Значит,

Лемма доказана полностью.

Лемма 9 Пусть и - различные простые числа и - порядок некоторой -подгруппы группы . Тогда либо , либо справедливо одно из следующих утверждении:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , , и .

Доказательство. Пусть - показатель числа по модулю и , не делит . Так как - порядок силовской -подгруппы группы , то . Если , то лемма 9 справедлива. Поэтому пусть в дальнейшем . Рассмотрим вначале случай, когда . По лемме в этом случае , где определяется неравенством . Допустим, что . Так как , то и - противоречие. Значит, , поэтому либо , либо .

Пусть . Тогда , а так как , то и . Если , то и - противоречие. Если , то . Кроме того, . Поэтому из условия следует, что . Получили утверждение для из пункта 2.

Теперь пусть . Тогда . Легко показать, что , поэтому . Если , то и . Отсюда следует, что

получили противоречие. Значит, , т.е. и . Поэтому . Воспользуемся неравенством , которое справедливо при . Тогда

и из следует, что и . Получили утверждение из пункта 3. Случай разобран полностью.

Рассмотрим теперь случай . Тогда . Пусть - наименьшее целое число, при котором , и пусть . Предположим, что . Тогда . Но и , поэтому и . Если , то , и . Кроме того, . Отсюда . Следовательно, при справедливо неравенство . Так как , то и

Таким образом, при всегда . Значит, надо рассмотреть лишь два случая: и .

Пусть , тогда . Непосредственно проверяется, что при . При имеем , причем . Поэтому . Получили утверждение из пункта 1.

Осталось рассмотреть . Теперь . В силовская -подгруппа имеет порядок . Так как , то и . Но , . Поэтому этот случай записан в пункте 2. Лемма доказана полностью.

Доказательство теоремы 4. Пусть , - упорядоченная пара простых чисел, - натуральное число и , , удовлетворяют одному из трех требований теоремы. Через обозначим элементарную абелеву группу порядка , через - силовскую -подгруппу группы . Так как есть группа автоморфизмов группы , то группа , являющаяся расширением группы с помощью группы , не имеет инвариантных -подгрупп . Покажем, что - искомая группа. Вычислим порядок группы . Из леммы 8 следует, что причем:

1) , если и ;

2) , если , и , если , , ;

3) , если , .

В первых двух случаях непосредственно проверяется, что . Используя неравенство , которое справедливо при , в третьем случае получаем . Таким образом, и в каждом из трех случаев . Теорема 4 доказана.

3. Доказательство теоремы 1. Допустим, что теорема неверна и группа - контрпример минимального порядка. Пусть - силовская -подгруппа, - силовское -дополнение в .

Обозначим через наибольшую инвариантную -подгруппу из . Подгруппа характеристическая и не имеет неединичных инвариантных -подгрупп. Предположим, что . Факторгруппа имеет порядок . Если , то - противоречие. Поэтому и для выполняется одно из утверждений пунктов 1 - 3 заключения теоремы. Но тогда это утверждение выполняется и для - противоречие. Следовательно, в нет неединичных инвариантных -подгрупп.

Пусть - подгруппа Фиттинга группы . Так как разрешима, то . Ясно, что . Если , то и группа удовлетворяет условию теоремы. Но для не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 - 3 заключения теоремы, иначе оно выполнялось бы и для . Поэтому группа обладает неединичной инвариантной -подгруппой . Теперь централизует , а это противоречит теореме о том, что в разрешимых группах подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор (см. 5). Таким образом, .

Допустим, что подгруппа Фраттини группы неединична. Тогда факторгруппа удовлетворяет условию теоремы. Если в имеется неединичная инвариантная -подгруппа , то по теореме Гашюца 5 группа нильпотентна и обладает инвариантной -подгруппой - противоречие. Но для не выполняется ни одно из утверждений пунктов 1 - 3. Следовательно, и все силовские в подгруппы элементарные абелевы.

Пусть , - силовская подгруппа группы . Тогда группа автоморфизмов группы является прямым произведением групп (см. 5). Так как совпадает со своим централизатором в , то изоморфна некоторой -подгруппе из . Но силовская -подгруппа из имеет вид , где - некоторая силовская -подгруппа из (см. 5). Поэтому изоморфна некоторой подгруппе из . По условию теоремы , поэтому существует номер такой, что .

Если , то и , есть силовская -подгруппа группы . Применяя лемму 9, заключаем, что , и или , и , или , и . Используя условие , нетрудно получить соответствующие оценки для числа . Теорема доказана.

4. Пример. В 1969 г.Г.Я. Мордкович на Гомельском алгебраическом семинаре С.А. Чунихина высказал предположение: в группе порядка при либо силовская -подгруппа инвариантна, либо существует неединичная инвариантная -подгруппа. Мы построим пример, опровергающий это предположение.

Напомним, что означает наибольшую инвариантную -подгруппу группы . Группа называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа инвариантна.

Лемма 10 Пусть , где - подгруппа группы , . Если для всех , то .

Доказательство проведем индукцией по . Для лемма справедлива. Пусть утверждение верно для и . Так как и , то и . Теперь . Отсюда следует, что . Лемма доказана.

Нам потребуется следующая конструкция Л.А. Шеметкова (см. 6).

Лемма Л.А. Шеметков 11 Для любой упорядоченной пары , различных простых чисел существует группа порядка со следующими свойствами:

1) , - показатель, которому принадлежит по модулю ;

2) не -замкнута, силовская -подгруппа из максимальна в и .

Предположение 12 Для каждого из следующих трех случаев

1) , ;

2) , ;

3) , существует не -замкнутая группа порядка , причем и .

Доказательство. Пусть , - упорядоченная пара простых чисел, удовлетворяющая одному из требований предложения 12. Пусть - -группа из леммы 11 с максимальной силовской -подгруппой, - -группа, построенная в теореме 4, с инвариантной силовской -подгруппой и , где . Так как не -замкнута, то и не -замкнута. Кроме того, и , . Поэтому, по лемме 10. Осталось показать, что в каждом из трех случаев натуральное число можно задать так, что группа будет иметь порядок , причем .

Пусть , . Тогда , а . Если , то , где , . Нетрудно проверить, что .

Пусть теперь , . Предположим, что . Тогда , и , где , a . Если в качестве выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству: , то . Допустим теперь, что . Тогда , и , где , . Так как , то существует натуральное число , удовлетворяющее неравенству . Если положить , то .

Наконец, пусть , . Тогда , и , где , . Теперь в качестве надо выбрать натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Тогда . Предположение 12 доказано.

3. О порядках силовских подгрупп общей линейной группы

В заметке (1) исправлена ошибка, допущенная Бернсайдом в работе (2). А именно в (3) доказано, что группа порядка , где и - различные простые числа и , либо обладает характеристической -подгруппой порядка , либо справедливо одно из следующих утверждений:

1) , , и ;

2) , , и , если , , если ;

3) , , и .

Доказательство этого результата сводится к случаю, когда силовская -подгруппа из является минимальной инвариантной подгруппой, совпадающей со своим централизатором. В этом случае силовская - подгруппа из изоморфно вкладывается в общую линейную группу и возникает необходимость сравнить порядок силовской -подгруппы из с числом . В лемме 2.5 из 7 указывались значения , и нижняя граница для числа , при которых порядок силовской - подгруппы из больше .

Цель настоящей заметки - указать все значения чисел , и , при которых силовская -подгруппа из имеет порядок больший, чем .

Теорема 13 Пусть и - различные простые числа и - порядок силовской -подгруппы из группы . Тогда и только тогда , когда выполняется одно из условий: