Рассмотрим приведенный выше числовой пример. И применим к нему все изученные нами критерии. Результаты отобразим в таблице:

Заметим, что стратегия (альтернатива) А4 по всем девяти критериям хуже, чем любая другая стратегия. Её можно убрать из рассмотрения, при этом результат выбора не изменится. Это утверждает принцип Парето. Оставшиеся альтернативы А1, А2, А3, будут образовывать множество Парето для данной задачи.

Из допустимого множества альтернатив множество Парето образуют те альтернативы, каждая из которых не хуже по всем критериям, чем любая альтернатива, не вошедшая во множество Парето, а хотя бы по одному критерию – лучше.

Согласно принципу Парето оптимальная альтернатива содержится во множестве Парето. Если, например исходная задача содержит 100 альтернативных решений, а множество Парето состоит из 20 альтернатив, то применение принципа Парето в 5 раз уменьшает размерность задачи, соответственно в 5 раз увеличится скорость работы программы, реализующей решение такой задачи!

Далее полученную многокритериальную задачу принятия решения на множестве Парето можно свести к однокритериальной, введя некий обобщенный критерий Z* как функцию от предыдущих частных критериев. Обобщенный критерий Z* в литературе еще называют функцией полезности. Процесс сведения многокритериальной задачи к однокритериальной называется свёрткой.

1. 5.2 Линейные свёртки

Начнем с линейных свёрток. Все линейные свёртки основываются на принципе: "низкая оценка по одному критерию может быть компенсирована высокой оценкой по другому".

Рассмотрим простую линейную аддитивную свёртку:

Z* = max ,

То есть, данная свёртка подсчитывает, сколько раз та или иная стратегия была оптимальной. Результаты отобразим в таблице:

В последнем столбе таблицы размещены результаты свёртки. Как видим, оптимальной стратегией является А3.

Такая свёртка является самой простой из линейных, она не учитывает количественных показателей значений критериев.

Рассмотрим линейную аддитивную свёртку с нормирующими множителями:

Z* = max ,

где j = – нормирующие множители.

Как видим, оптимальной стратегией также является А3. Но в этом случае уже нет такого количественного отрыва как в предыдущей простой линейной свёртке. Да и стратегия А2 уже не кажется очень сильно плохой. Если бы были чуть другие начальные данные, то ответы двух рассмотренных вариантов свёрток могли бы и не совпасть.

Линейная аддитивная свёртка с нормирующими множителями позволяет работать с количественными критериями, имеющими, как в нашем случае, разные единицы измерений.

Рассмотрим линейную аддитивную свёртку с весовыми коэффициентами:

Z* = max ,

где j – те же нормирующие множители,

вj – весовые коэффициенты, отражающие относительный
вклад частных критериев в общий критерий.

Весовые коэффициенты принято указывать уже нормированными величинами (вj = 1).

Очевидно, что в каждой отдельной конкретной ситуации частные критерии по-разному влияют на общий суперкритерий. Поэтому естественно им придать в общей формуле разный удельный вес. Это можно сделать с помощью весовых коэффициентов. Но где же их взять? Обычно ЛПР сам назначает каждому критерию весовые коэффициенты на свой "мудрый" взгляд. На этом этапе строгая математическая наука заканчивается – конечный результат лежит целиком на совести ЛПР и зависит от его опыта и интуиции в данной сфере. Однако от такого субъективизма никуда не денешься – нельзя же всю жизнь формализовать с помощью математических формул!

Как видим, при неизменном условии задачи оптимальной получилась стратегия А2, хотя в двух предыдущих свёртках она "пасла задних". Все дело в весовых коэффициентах!

2. 5.3 Максиминная и лексикографическая свёртки

Максиминная свёртка – это самый простой способ построения обобщенного критерия (суперкритерия), основанный на применении уже хорошо нам известного принципа максимина.

Пусть мы имеем оценки некоторых объектов (альтернатив) по n критериям. Каждый из критериев имеет свою размерность, и эти размерности обычно не совпадают. Поэтому для начала нужно нормировать все имеющиеся оценки. Делается это с помощью нормирующих множителей – на основе исходной матрицы оценок строится новая матрица с такими элементами:

cij =

где j = – нормирующие множители.

Далее к полученной матрице применяем принцип максимина. Посмотрим, как это делается на нашем примере:

Исходную матрицу мы, так же как и ранее, дополнили справа еще одним столбцом, в который внесли значения минимальных элементов каждой пересчитанной строки.

Из элементов добавленного столбца выбираем наибольший. Строка, в которой он стоит и будет оптимальной альтернативой. В данном случае оптимальной будет альтернатива А1.

Недостаток максиминной свёртки – это то, что она учитывает только те критерии, которые дают самые плохие оценки, все остальные критерии игнорируются. Из-за этого максиминную свёртку используют не слишком часто, чаще используют линейные и мультипликативные свёртки. Зато такой подход всегда дает гарантированный результат, ниже которого исхода не будет.

А что делать, если максиминная свёртка даст несколько одинаковых результатов (такое тоже бывает!), а ЛПР необходимо выбрать одно решение? Для такого интересного случая А. Джоффрион предложил использовать так называемую лексикографическую свёртку. Делается это так. Берутся две (или несколько) оптимальные альтернативы, полученные методом максиминной свёртки, и из них выбирается наилучшая методом линейной свёртки.

Как видим, с такими числовыми данными максиминная свёртка оптимальными считает альтернативы А1 и А2 . Теперь после максиминной свёртки применим к альтернативам А1 и А2 линейную свёртку:

В результате получили однозначный ответ: оптимальной является альтернатива А1 .

1. 5.4 Мультипликативные свёртки

Рассмотрим мультипликативную свёртку с нормирующими множителями:

Z* = max ,

где j – нормирующие множители.

Мультипликативная свёртка основывается на постулате: "низкая оценка хотя бы по одному критерию влечет за собой низкое значение функции полезности". Действительно, если вы выбираете торт, и он – несвежий, то это обстоятельство никак не может быть компенсировано его красотой или ценой.

Оптимальной стратегией снова является А3.

Посмотрим, какие результаты даст мультипликативная свёртка с весовыми коэффициентами:

Z* = max ,

где j – нормирующие множители,

вj – весовые коэффициенты.

Итоги отражены в таблице:

Оптимальной стратегией снова является А3.

В конце еще раз напомним непременное правило: перед тем, как применять какую-либо свёртку нужно автоматически всегда выделять множество Парето. И именно для множества Парето применять свёртки. Иначе вы или ваша программа будете выполнять лишнюю ненужную работу.

1. 5.5 Многокритериальный выбор на языке бинарных отношений

До этого были рассмотрены случаи, когда все критерии оценивали все альтернативы. Все альтернативы можно было сравнить друг с другом по каждому критерию. А что делать, если не все альтернативы будут оценены всеми критериями? В таком случае появятся альтернативы, не сравнимые между собой по некоторым критериям. Рассмотрим такой случай на нашем примере (уберем из него некоторые оценки):

При таком условии альтернативы можно сравнить между собой лишь попарно. Такие попарные сравнения называются бинарными отношениями. Обозначается бинарное отношение (на примере критерия Байеса из нашей таблицы) А1RА2 – альтернатива А1 лучше альтернативы А2.

Дадим математически точное определение бинарных отношений.

Бинарным отношением на множестве Ω называется произвольное подмножество R множества Ω Х Ω , где Ω Х Ω – это множество всех упорядоченных пар (ai ;aj) , где ai , aj Ω . #

Бинарные отношения очень удобно изображать наглядно. Представим четыре стратегии из нашего примера в виде точек на плоскости. Если имеем, что какая-то альтернатива лучше другой, то проведем стрелку от лучшей альтернативы к худшей. На примере критерия Байеса из нашей таблицы имеем А1RА2 , поэтому на плоскости проведем стрелку от точки А1 к точке А2. Аналогичным образом поступим со всеми начальными данными из таблицы. Заметим, что бинарные отношения не исключают отношения элемента с самим собой. На рисунке такое бинарное отношение будет задаваться петлёй со стрелкой. В результате получим следующую картину:

Подобные фигуры называются ориентированными графами. Точки – это вершины графа, стрелки между точками – это дуги графа.

Дадим математически точное определение графа.

Графом называется пара (Е, е), где Е – непустое конечное множество элементов (вершин), е – конечное (возможно и пустое) множество пар элементов из Е (множество дуг). #

Две вершины, соединенные дугой, называются смежными вершинами. Дуга, соединяющая две вершины, называется инцидентной этим вершинам. Две вершины, соединенные дугой, называются инцидентными этой дуге.

Как же произвести выбор наилучшего элемента из имеющихся альтернатив (наилучшей вершины графа)? Для этого сначала необходимо определить, что же будет являться наилучшей вершины (наилучшими вершинами) графа. На этот счет имеются две исторически сложившиеся в теории графов точки зрения.

1)Максимальным элементом множества Ω по бинарному отношению R называется такой элемент х Ω , что у Ω выполняется отношение хRy .

Иначе говоря, максимальный элемент множества должен быть "лучше" каждого элемента этого множества. Не исключается и то, что он может быть "лучше" самого себя, кроме этого максимальный элемент может быть одновременно и "хуже" какого-либо элемента этого множества. Слова "лучше" и "хуже" не совсем верно передают смысл бинарных отношений.

Для графов понятие максимальный элемент – это вершина, из которой исходят стрелки во все остальные вершины графа. Например, на рис. 1 максимальным элементом будет вершина А1 – из неё выходят стрелки во все остальные вершины графа.

2)Оптимальным по Парето элементом множества Ω по бинарному отношению R называется такой элемент х Ω , что у Ω для которого выполнялось бы отношение уRх .

Иначе говоря, оптимальный по Парето элемент множества – это такой элемент, "лучше" которого в рассматриваемом множестве нет.

Для графов понятие оптимальный по Парето элемент – это вершина, в которую не входит ни одна стрелка. Например, на рис. 1 оптимальным по Парето элементом будет вершина А1 – в неё не входит ни одна стрелка.

Видим, что два разных подхода к определению наилучшего элемента в нашем примере дали одинаковый результат. Но такое бывает не всегда.

Рассмотрим несколько примеров.

У графа на рис. 2 максимальным элементом будет вершина А1 – из неё выходят стрелки во все остальные вершины графа. Оптимальных по Парето элементов у данного графа нет.

У графа на рис. 3 максимальным элементом будет также вершина А1 – из неё выходят стрелки во все остальные вершины графа. Заметим: то, что в неё входит стрелка из вершины А4 , по определению совершенно не важно. Оптимальных по Парето элементов у данного графа нет.

У графа на рис. 4 максимальными элементами будут вершины А1 и А4 – из них выходят стрелки во все остальные вершины графа. Оптимальных по Парето элементов у данного графа нет.

У графа на рис. 5 максимального элемента нет. Оптимальными по Парето элементами будут вершины А1 и А4 – в них не входит ни одна стрелка.

Отметим очевидные особенности.

У графа либо нет максимальных элементов, либо есть.

Оптимальными по Парето элементами могут быть несколько вершин графа, либо таковых может не быть.

В графе не может один (или одни) элемент быть максимальным, а другой (или другие) элемент быть оптимальным по Парето.

Итак, если имеется задача многокритериального выбора, описанная на языке бинарных отношений, то её удобно представить наглядно в виде графа. Однако такое удобство хорошо для небольшого количества вершин (альтернатив). Если вершин довольно много, то вся наглядность пропадает и легко можно запутаться. В таком случае граф удобно представить в виде матрицы смежности или матрицы инцидентности.

Матрица смежности вершин графа – это квадратная матрица размера m x m (m – это количество вершин) с элементами:

сij =

По матрицам смежности искать максимальные элементы и элементы, оптимальные по Парето – одно удовольствие! Максимальные элементы – это те, чьи строки состоят из всех единиц (кроме себя самих – там может быть как нуль, так и единица). А оптимальные по Парето элементы – это те, чьи столбцы состоят из всех нулей.

Матрица инцидентности графа – это матрица, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы – дугам. При этом предполагается, что граф не должен иметь петель.

Элементы матрицы инцидентности будут такими:

сij =

Видим, что каждый столбец должен содержать одну единицу и одну минус единицу, остальные элементы столбцов – нули. То есть каждая дуга из одной вершины выходит и в другую вершину входит.

Налицо также очевидна закономерность: максимальные элементы – это те, чьи строки содержат единиц на одну меньше, чем количество строк (вершин), а оптимальные по Парето элементы – это те, чьи строки не содержат минус единиц.

Используя замечательные особенности матриц смежности и инцидентности графов, не составит большого труда разрабатывать компьютерные программы по принятию решений для задач выбора, описанных на языке бинарных отношений.

2. . Принятие корпоративных решений

1. 6.1 Групповая оценка объектов

В приведенном выше материале подразумевалось, что ЛПР – это некий эксперт-аналитик, принимающий решение по поставленной проблеме. А если проблемой занимаются несколько экспертов? А решение то должно быть одно! Такая задача называется задачей группового выбора или задачей принятия корпоративного решения.

Тут нужно отметить один важный психологический момент. Взрослого человека (начиная лет с 5-10) практически никогда невозможно заставить изменить свое мнение. (Есть, конечно, "безотказные" методы типа насилия, или денежного подкупа, но они к науке не имеют никакого отношения.) Поэтому эксперты в группе всегда будут:

• иметь разные мнения по поводу набора критериев, по которым надо оценивать альтернативные решения;

• иметь разные мнения о сравнительной значимости (весовых коэффициентах) критериев;

• давать разные оценки альтернатив по критериям;

• кроме этого эксперты будут иметь разную компетентность.

Исходя из таких очевидных фактов, можно с уверенностью утверждать, что у группы экспертов всегда должен быть руководитель.