85765 (Математична обробка результатів вимірів)

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРІВ

1. Математична обробка ряду рівноточних вимірів

Математична обробка ряду рівноточних вимірів полягає в послідовному визначенні числових характеристик вимірюваної величини.

Для зручності приведемо послідовність обчислень при обробці ряду рівноточних вимірів. Припустимо, що в результаті повторних рівноточних вимірів величини Х дотримано ряд результатів

( )

Обчислюють

1. Просту арифметичну середину за формулою

Для зручності обчислень можна взяти умовне значення близьке до виміряних результатів х₀. Обчислити різниці

(i = l,n )

2. При відомому істинному значенні X обчислюють величину систематичної похибки за формулою

3. Абсолютні похибки вимірів при заданому істинному значенні X

(i = l,n )

або ймовірні похибки, коли невідоме істинне значення вимірюваної величини X

Контроль [V_i] = 0 — в межах точності обчислень.

4. Величини [ ] або [ ] з контролем

Контроль

5. Середню квадратичну похибку окремого виміру:

а) за формулою Гаусса

б) або за формулою Бесселя

6. Середню квадратичну похибку середнього арифметичного

Далі обчислюють оцінки надійності і середніх квадратичних похибок m і М.

7. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

При цьому . Параметр t визначається за таблицями розподілу Стьюдента залежно від заданої ймовірності та числа ступенів вільності n.

8. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки арифметичного середнього

Надійність визначення СКП арифметичного середнього М контролюють нерівністю

9. Визначають довірчі інтервали для:

а) можливого значення істинної величини

де — параметр вибирається із таблиць розподілу Стьюдента залежно від заданої ймовірності та кількості ступенів вільності k = n - 1

б) можливих значень результатів вимірів

,

де параметр t вибирається так само, як і в попередньому випадку.

Якщо в ряду вимірів є результати, що виходять за межі визначеного параметра, то їх або повторюють, або виміри виключають і попередні обчислення виконують повторно;

в) дисперсії та стандарти середнього арифметичного

де m і М — середні квадратичні похибки, обчислені за формулами.

Коефіцієнти і обчислюються за формулами

,

при використані формули

,

при використанні формули, статистики і вибираються із таблиць розподілу Пірсона за числом ступенів вільності (n-1) або n та заданій імовірності при

i

Середнє арифметичне

Середню квадратичну похибку окремого виміру за формулою Бесселя

Середню квадратичну похибку середнього арифметичного

Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки

При = 0,95 та n за таблицею = 2,3 отримаємо

Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки арифметичного середнього

При = 0,95 та = 2,3

або (1,3 > 0,62)

Це говорить про те, що оцінки m та М отримані надійно.

Обчислюють довірчі інтервали:

а) для істинного значення при = 0,95 і = 2,3

;

б) результатів вимірів

в) стандарти середнього арифметичного при = 0,95 p₂ = 0,03 і р₁ = 0,97. k = n-1=11 Шляхом лінійного інтерполювання визначаємо

Тоді

Відповідно отримуємо інтервал

( )

г) стандарти окремих вимірів

( )

Можна обчислити і відносні похибки

а) для істинного значення довжини компаратора використаємо

інтервальну оцінку. Похибка визначення складе

де — початкове та кінцеве значення інтервалу.

Відносна гранична похибка складе

,

б) точність окремих вимірів характеризується відносною граничною

похибкою

Залежно від заданих умов приймають остаточне рішення про якість виконаних вимірів і можливості використання компаратора.

2. Математична обробка ряду нерівноточних вимірів

Приведемо послідовність визначення числових характеристик багатократних повторних нерівноточних вимірів. Якщо отримано статистичний ряд нерівноточних вимірів

( )

то обчислюють

1. Ваги вимірів за однією із можливих формул

, ; або

де - емпіричні дисперсії виміряних величин;

L_i — довжина лінії ходу, полігона і т.д.;

N_i - кількість виміряних величин: кутів, перевищень, ліній, штативів і т.д.;

n_i - кількість вимірів (прийомів) однієї шуканої величини.

2. Загальне середнє арифметичне

Для зручності обчислень можна взяти умовне значення близьке до отриманих результатів вимірів x₀. Обчислити різниці

(i=l,n)

Тоді

3. Абсолютні похибки вимірів при заданому істинному значенні вимірюваної величини X

(i=l,n),

або ймовірні похибки, коли невідоме істинне значення

Контроль , де - похибка заокруглення загального середнього арифметичного X.

4. Систематичну похибку , при відомому істинному значенні X або істинних похибках за формулою

або

5. Величину [ ] або з контролем.

Контроль:

6. Середню квадратичну похибку одиниці ваги за формулою

або

7. Середню квадратичну похибку загального середнього арифметичного за формулою

Виконують оцінку надійності середніх квадратичних похибок та М.

8. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки одиниці ваги

Надійність визначення середньої квадратичної похибки одиниці ваги визначають нерівністю . Параметр визначається за таблицею розподілу Стьюдента за заданою ймовірністю і числом ступенів вільності k = n-1.

9. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки загального середнього арифметичного

Надійність визначення СКП загального середнього арифметичного М контролюють нерівністю

,

де - параметр, що визначається так само як і в попередньому випадку.

10. Довірчі інтервали для

а) істинного значення виміряної величини

де t - параметр вибирається з таблиць розподілу Стьюдента за ймовірністю і кількістю ступенів вільності k = n-1.

б) стандарта загального середнього арифметичного

в) стандарта одиниці ваги

Коефіцієнти і обчислюються так само як і при рівноточних вимірах.

При необхідності обчислюють:

а) середні квадратичні похибки окремих нерівноточних вимірів

б) інтервальні оцінки для окремих результатів ряду нерівноточних вимірів

3. Оцінка точності функцій виміряних величин

В практичній діяльності для вимірювання шуканих величин часто застосовують посередні методи. При цьому шукана величина Y визначається шляхом обчислень по виміряних величинах Х₁, Х₂ ..., Х_n. Шукану величину Y називають функцією, а виміряні величини Х_і - аргументами, тоді

де Х₁, Х₂ ..., Х_n - істинні значення функції та її аргументів.

Зрозуміло, що виміри виконуються з похибками, тому і функція буде обтяжена похибкою. В результаті повторних вимірювань аргументів Х_i можна визначити їх точність, або їх точність визначається методикою вимірювань на основі інструкцій і т.і.

Похибка функції буде залежати від похибок її аргументів. Якщо виміряно аргументи Х₁, Х₂ ..., Х_n, то шляхом обчислень можна визначити функцію

де Х₁, Х₂ ..., Х_n - виміряні величини з середніми квадратичними похибками ..., m_xn. Припустимо, що нам відомі істинні похибки вимірів . Очевидно і функція отримає істинний приріст . Функція зведеться до вигляду

де - часткові похідні від функції по перемінних наближених значеннях аргументів;

x_і —Х_і = - істинні похибки аргументів функції;

R - величини другого та вищих порядків малості і в подальших розрахунках може бути прийнятою за нуль, тобто R=0.

Визначимо приріст функції у, для чого від рівняння віднімемо рівняння

і отримаємо

Для оцінки точності функцій застосуємо метод повторних вимірювань аргументів. Тобто припустимо, що аргументи функції виміряні n-разів і при відомих істинних похибках аргументів обчислено таку ж кількість похибок функції, тобто

, (i = l,n)

Зведемо їх до квадрата, складемо і поділимо на n. Отримаємо

Із кореляційного аналізу можна визначити коефіцієнт кореляції за формулою

Тоді дисперсія функції зведеться до вигляду

де - коефіцієнт кореляції, який виражає залежність між аргументами x_i та x_j.

Дві останні формули виражають дисперсію функції, тобто її точність залежно від виду функції і точності залежних між собою аргументів.

Практично досить важко і економічно невигідно визначати коефіцієнти кореляції. Тоді умовно приймають їх незалежними, а коефіцієнт кореляції r_ij = 0.

Для незалежних аргументів дисперсія функції буде

де m_y, m₁, m₂, …, m_n - середні квадратичні похибки функції та її аргументів.

В узагальненому вигляді середню квадратичну похибку функції для незалежних аргументів виражають формулою