168753 (Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод), страница 8

вони замість області змінно z (область фільтрації) запропонували розглядати область так називаної функції Жуковського G, що визначається рівністю

(3.53)

або

(3.54)

Тепер можна записати граничні умови для функції Жуковського, вірніше, для її уявної частини:

уздовж границі АВ з верхньою водоймою (б'єфом)

(3.55)

χ AB на кривої депресії ВР, розташованої між k-м й (k+1)-м водоймами,

(3.56)

на границі з (k + 1) -м водоймою

(3.57)

де - наведена фільтраційна витрата в (k+1)-й водоймі; Q - повна фільтраційна витрата.

На водонепроникній ділянці A₁E₁, називаній водоупором, значення функцій u й v невідомі, однак можна вказати межі їхньої зміни:

(3.58)

(3.59)

З нерівності (3.59) бачимо, що лінія A₁E₁, що є образом водоупора в площині функції Жуковського G, укладена в горизонтальній смузі товщини H.

Таким чином, в області функції Жуковського G криві депресії перетворяться в горизонтальні прямі, інші ділянки - у невідомі лінії, причому водоупор перетвориться в деяку криву лінію, укладену в смузі товщиною H, де H дорівнює різниці оцінок води у верхній і нижній водоймах. При дуже великій глибині залягання водоупора, коли можна покласти , всі ділянки границі області функції Жуковського G будуть відомі, якщо водопроникні ділянки - вертикальні (x = x_k = const). Тоді, відображаючи конформно на область функції Жуковського G, що має вид прямолінійного багатокутника, ОКП ω за допомогою функції G=F(ω) і з огляду на співвідношення (3.53), шукану характеристичну функцію плину знаходимо у вигляді

. (3.60)

Якщо ж зазначене відображення здійснюється через допоміжну напівплощину, то шукане рішення можна записати в параметричній формі

(3.61)

Викладений спосіб можна застосовувати й у тому випадку, коли водопроникні й водонепроникні ділянки не є відповідно горизонтальними й вертикальними. При цьому як вихідну область досить вибрати область функції Жуковського G, а після ОКП ω на область G за допомогою співвідношення (3.53) знайти границі області фільтрації z (напівзворотний спосіб Ведерникова-Павловського). Область G у цьому випадку вибирають так, щоб, з одного боку, її можна було порівняно легко конформно відобразити на область ω або ζ, з іншого боку - побудована для неї область фільтрації z повинна відповідати реальним умовам фільтраційного завдання.

1. Конформні перетворення й моделювання масо переносу

Процес міграції розчинних речовин при фільтрації підземних вод, як відомо, описується системою рівнянь:

(3.62)

; (3.63)

(3.64)

або в скалярній формі

(3.65)

(3.66)

(3.67)

де v = {v_x,v_y,v_z} - вектор швидкості фільтрації, м/доб; (x,y,z,t) - потенціал фільтрації; c(x, y, z, t) і N(x, y, z, t) - концентрація дифундуючої речовини відповідно в рідинній і твердій фазах, г/см , D - коефіцієнт конвективної дифузії, м³/доб; σ - активна (або ефективна) пористість середовища, у якому протікає фільтрація розчину; t - година (у добах); - оператор Гамільтона; γ - стала швидкості масообміну; β - коефіцієнт розподілу речовини між; фазами в умовах рівноваги по лінійній ізтермі Генрі c_p = βN. У багатьох практичних завданнях можна обмежитися дослідженням процесу масопереносу розчинних у фільтраційному потоці речовин тільки на основі рівнянь, що описують конвективний процес, а саме:

(3.68)

(3.69)

причому масообмін визначається такою досить розповсюдженою залежністю:

(3.70)

де - концентрація граничної насиченості.

Наведені рівняння описують, як правило, міграцію й фізичну трансформацію (сорбцію, десорбцію) консервативних водорозчинних речовин.

Якщо дослідити масоперенос при плоско-вертикальній і плановій усталеній або квазіусталеній фільтрації підземних вод, то для моделювання цього процеса доцільно застосувати конформне перетворення рівнянь масопереноса до криволінійних змінних - координатам точок області комплексного потенціала фільтрації.

У разі плоско-вертикальної (профільної) фільтрації рівняння рухові підземних вод запишуться у вигляді

(3.71)

де χ - коефіцієнт фільтрації, h - напір, який визначається рівністю

(3.72)

причому вісь Oy спрямовано вертикально вниз, p - тиск, ρ - щільність, g - прискорення сили тяжіння.

У разі планової напорної фільтрації відповідні рівняння записуються так:

Φ = -χTh;

(3.73)

а в разі планової безнапорної фільтрації

(3.74)

У рівняннях (3.73), (3.74) через T позначено потужність напірного водоносного шару: q - вектор питомої фільтраційної витрати (м²/доб), a h - напір, який у даному випадку визначається таким рівнянням:

(3.75)

де Z - вертикальна координата точки фільтраційного потоку.

Припущення, що для фільтраційних течій, що розглядаються, можна побудувати область комплексного потенціала ω = + iψ , де ψ - функція течії, і що відома характеристична функція течії

z = x + iy = F(ω) = F₁( , ψ) + i₂( ,ψ), (3.76)

за допомогою заміни

x = F₁( ,ψ); y = F₂( ,ψ) (3.77)

перетворимо рівняння конвективної дифузії до нових незалежних змінних і ψ. У результаті такої заміни рівняння конвективної дифузії в разі плоско-вертикальної фільтрації запишеться у вигляді

(3.78)

у разі планової напорної фільтрації - у такому вигляді:

(3.79)

а в разі планової безнапорної фільтрації перетворюється до вигляду

(3.80)

Якщо в рівняннях (3.78)-(3.80) D = 0, отримаємо рівняння конвективного масопереносу без враховування дифузійних процесів, що перетворені до нових змінних , ψ або Φ, Ψ або Φ*, Ψ* відповідно для випадків плоско-вертикальної, планової напорної і планової безнапорної фільтрації, а саме:

(3.81)

(3.82)

(3.83)

Отже, у разі нехтування дифузійними процесами питання про визначення концентрації речовин, що забруднюють підземні води, зводиться до розв'язання відповідної фільтраційної задачі та одного з рівнянь (3.81)-(3.83) із одною додатковою (початковою) умовою, яка задається залежно від фізичної постановки задачі.

Важливою характеристикою при дослідженні процесу забруднення підземних вод є час, протягом якого в даній точці області (або області z) концентрація розчинної речовини досягає визначеної величини. Крім того, виникає питання про визначення часу, протягом якого концентрація розчинної речовини досягає в даній точці максимального значення. Основні диференціальні рівняння, з яких визначаються ці характеристики, а також фронт просування речовини (домішку) у фільтарційному потоці будуть наведені нижче.

Нехай відома концентрація розчинної в фільтраційному потоці речовини як функції координат точок області комплексного потенціала й і години t . Тоді для кожного значення (моменту) часу t можна побудуввати поверхню розподілу концентрації відносно області комплексного потенціала , а отже, й відносно області фільтрації z . Цим самим для кожного моменту часу буде визначено значення концентрації речовини, що розповсюджується в підземних водах, у будь-якій точці області фільтрації або впродовж; лінії, зокрема, впродовж; будь-якої йз ліній чи течії еквіпотенціальних ліній.

Якщо ж припустити, що міграція речовини здійснюється зі сталою концентрацією, то час, протягом якого станеться забруднення визначеної частки області фільтрації, знайдемо таким чином. Нехай відома швидкість фільтрації v(x,y,t) і характеристична функція течії, що отримана у вигляді (3.77). Швидкість розповсюдження розчинної у фільтраційному потоці речовини U(x,y,t) у даному разі дорівнює дійсній швидкості руху підземних вод V(x,y,t), яка зв'язана зі швидкістю фільтрації v(x,y,t) співвідношенням

(3.84)

де через позначена активна пористість ґрунту (породи). За миттєво протікаючих сорбційних процесах, що визначаються рівністю (3.70), активна пористість замінюється ефективною пористістю середовища, що визначається рівністю

(3.85)

Із (3.84) отримуємо

(3.86)

Після перетворення рівності (3.86) до нових незалежних змінних та маємо

(3.87)

Замість рівнянь (3.81)-(3.83) зручно розглядати рівняння

(3.88)

де - безрозмірні величини, причому . До рівняння (3.88) легко звести кожне з рівнянь (3.81)-(3.83). Дійсно, якщо в рівнянні (3.88) покласти

(3.89)

то отримаємо рівняння (3.81), якщо в рівнянні (3.88) покласти

(3.90)

то отримаємо рівняння (3.82), а якщо в рівнянні (3.88) покласти

(3.91)

то отримаємо рівняння (3.83).

Якщо розглядається квазістаціонарна фільтрація (фільтраційні характеристики залежатимуть й від години за незмінного розташування ліній потоку), то конвективний масоперенос описується рівнянням

(3.92)

де залежна від дослідження переносу при профільній, плановій напорній і плановій безнапорній фільтрації визначається відповідно рівностями

(3.93)

(3.94)

(3.95)

Щоб знайти частинний розв'язок рівняння (3.88), треба задати додаткову умову при = 0 або t = 0 , тобто розлянути задачу Коші. При цьому суттєвою є фізична інтерпретація незалежних координат it. Тож під часом розв'язання конкретних задач Коші для рівняня (3.88) слід відокремлювати початково-часову та початково-просторову задачі. Перший тип завдань, як правило, виникає під час дослідження процесів очищення або розсолення підземних вод та засолених земель; другий тип завдань (початково-просторові) з'являється зазвичай під час дослідження процесів забруднення або засолення підземних вод та родючих земель.

1. Крайові задачі конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації

Процес масопереносу розчинних у підземних водах речовин описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних іншого порядку зі змінними коефіцієнтами, яка в разі двовимірної плосковертикальної (профільної) фільтрації підземних вод за умови сталості коефіцієнта конвективної дифузії має вигляд