168753 (Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод), страница 4

(1. 133)

(1. 134)

(1. 135)

(1. 136)

Крайова задача (1.133) (1.136) еквівалентна крайовій задачі типу (1.97)-(1.99), а тому її рішення, що не залежить від ψ від Z , запишеться у вигляді (1.120). При цьому варто врахувати, що замість безрозмірних величин (1.98) варто ввести безрозмірні величини, які визначаються іншими рівностями окремо для випадку напірної й безнапірної планової фільтарції. Якщо ж розглядається процес засолення підземних вод, що відбувається в результаті дифузії залягаючих на глибині T* солей, то замість крайових умов (1.136) необхідно взяти наступні:

(1. 137)

Рішення крайової задачі (1.133)-(1.135), (1.136) можна одержати тільки за допомогою чисельних методів, а у випадку, коли величина питомої фільтраційної витрати осереднюеться тільки по одній зі змінних або ψ, рішення відповідних крайових задача можна знайти за допомогою методу Фур'є в сполученні з варіаційними методами.

1.1.4. Моделювання процесів забруднення підземних вод з урахуванням якості поверхневих вод

При проектирвании й експлуатації басейнів стічних вод різного призначення (ставків - відстійників, ставків - накопичувачів, ставків - охолоджувачів, хвосто - і шламосховищ) виникає необхідність обліку впливу розчинних речовин, що втримуються в них (домішок) на якість підземних вод й якість води в ріках, каналах, водоймищах, водозаборах, які розташовані в зоні впливу цих джерел забруднення.

Нехай у басейні стічних вод, що має початковий обсяг води Q₀ з концентрацією домішки, що втримується в ній, надходять стічні води від n різних підприємств із добовими витратами й з концентраціями даної домішки в них відповідно, причому з поверхні басейну випаровується /сут. води. Тоді, якщо через позначимо повну фільтраційну витрату води з басейну, то концентрацію домішки, що втримується в басейні в кожен момент часу можна визначити по формулі

(1.138)

де

(1. 139)

Параметр α характеризує седиментацію або трансформацію речовини у водоймі й визначається дослідним шляхом за результатами натурних спостережень. Вираз (1.138) надалі буде прийнятий як гранична умова на вході фільтраційного потоку.

Припустимо, що відомо характеристичну функцію потоку z = F(ω), де z = x + iy - точка області фільтрації, aω- точка області комплексного потенціалу ω = + iψ, або припустимо, що побудовано гідродинамічну сітку фільтрації. Тоді дослідження процесу забруднення підземних вод при плоско-вертикальній фільтрації зводиться до рішення в області наступного рівняння.

(1. 140)

де безрозмірні величини визначаються рівностями

(1. 141)

де - потенціал, χ - коефіцієнт фільтрації, h - напір, v - швидкість фільтрації, H - діючий напір, σ - пористість.

У випадку планової напірної фільтрації дослідження процесу зводиться до вирішення такого рівняння:

(1. 142)

де

(1. 143)

причому через позначений модуль вектора питомої фільтраційної витрати, Z - вертикальна координата, - напір, T - потужність водоносного шару, .

Середня швидкість фільтрації v (або питома фільтраційна витрата) і з огляду на рівність (1.138), вивчення процесу забруднення підземних вод при двовимірній фільтрації (плоско-паралельної або планової) зводимо до відшукання в прямокутнику , вирішення наступної крайової задачі (тут і надалі риски над безрозмірними величинами опустимо):

(1.144)

(1. 145)

(1. 146)

Рішення крайового завдання (1.144)-(1.146) шукаємо у вигляді

(1. 147)

де функція є рішенням наступної крайової задачі.

(1. 148)

(1. 149)

(1. 150)

Легко помітити, що крайова задача (1.148)-(1.150) еквівалентна наступній:

(1. 151)

(1. 152)

Розклавши функцію в ряд Фур'є

(1. 153)

де коефіцієнти B_m(t*) визначаються рівністю

(1. 154)

а власні значення λ_m визначаються з рівняння

(1. 155)

рішення крайової задачі (1.151)-(1.152) будемо шукати у вигляді

. (1.156)

Підставивши (1.153) і (1.156) у рівняння (1.151) і порівнюючи коефіцієнти при . одержимо рівняння

(1. 157)

(1. 158)

З початкової умови маємо

(1. 159)

Вирішивши задачу Коші (1.157)-(1.158), знайдемо коефіцієнти A_m(t*) у такому вигляді

(1. 160)

Таким чином, розв’язання крайової задачі (1.144)-(1.146) запишеться у вигляді

. (1.161)

На закінчення необхідно відзначити, що всі наведені в даній роботі рішення крайових задач конвективної дифузії, за допомогою яких моделюються процеси забруднення, засолення, самоочищення (або промивання) підземних і поверхневих вод, легко застосовуються до більш простих підземних потоків, коли область фільтрації є прямокутною або близькою до прямокутного. У цьому випадку в рівняннях конвективної дифузії недоцільно переходити до нових змінних й .

1.2. Методи прогнозування (водойми)

Наведені нижче рівняння регресії розроблені для прогнозування поширення забруднюючих речовин по поверхні водойм від місця їхнього скидання за рахунок процесів конвективної дифузії. При цьому використалися п'ятирічні спостереження на озері Байкал в умовах дії одного зосередженого джерела забруднення.

а) модель розподілу зважених речовин:

(1. 162)

де ­- нормоване щодо середнього значення концентрації в k-й точці в наступний момент часу - близькі в просторі й часі змінні при ∆τ = 1 рік.

б)модель розподілу розчинених мінеральних речовин:

(1. 163)

Оперативне прогнозування. Виконується на час добігання забруднюючої речовини від джерела надходження стічних вод до обраного контрольного отвору.

Алгоритми імітаційної системи. У всіх рівняннях витрати виражаються в м/с , довжина в м, концентрація - г/л, площа - м , швидкість - м/с, коефіцієнти швидкості самоочищення - 1/сут.

1. Розрахунок значення коефіцієнта Шези (α) :

(у літню пору):

2. Розрахунок коефіцієнта, що враховує поперечну циркуляцію в потоці і його кінематичній неоднорідності (β) :

при , при .

.

3. Розрахунок коефіцієнтів, що характеризують міру розведення стічних вод :

при ,

, де И,Н,Л,Г,Е,Ж,З;

при .

2[Ф(Г)-Ф(Е)-Ф(Ж)+Ф(З)] при при

при .

2. Рішення крайових задач (лінійних) математичної фізики

Розглянемо наступне рівняння енергії

(2.1)

З урахуванням заміни T = T_m - T₀ початкова умова для рівняння (2.1) здобуває вигляд

(2.2)

Граничні умови для рівняння (2.1) сформулюємо з урахуванням теплообміну між досліджуваною зоною нагрівання й навколишнім середовищем.

(2.3)

Очевидно, що подібні умови повинні виконуватися й щодо ширини зони нагрівання (0 ≤ y ≤ L_y):

(2.4)

(2.5)

Уздовж координати x (у напрямку вітру) у точці x = 0 температура середовища й температура початку зони нагрівання повинні збігатися T(0, y, z, t) = 0. У площині x = L_x T(L_x,y, z, t) = T₁(L_x,y, z, t) - температура загоряння речовин. Розглянемо крайову задачу

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Для зведення цієї задачі до стандартної задачі на власні значення й функції, введемо заміну змінних

(2.9)

Тоді

(2.10)

Підстановка цих виразів у рівняння (2.6) приводить до самоспряженого рівняння

(2.11)

з однорідними граничними умовами, що відповідають умовам

(2.12)

(2.13)

Ця задача еквівалентне задачі на власні значення

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Тоді

(2.17)

Невідомі параметри C₁ й C₂ визначаються із граничних умов.

Константа C₁ визначається як норма власної функції v(x) :

Власні значення знаходимо з умови (2.16):

Таким чином,

(2.18)

(2.19)

Перейдемо тепер до рішення задачі (2.1)-(2.5). Уведемо заміну

(2.20)

Після підстановки цих виразів у рівняння (2.1) і граничні умови одержуємо наступну крайову задачу.

(2.21)

Початкова умова

(2.22)

Граничні умови:

(2.23)

(2.24)

(2.25)

Застосуємо інтегральне перетворення по змінній x до рівняння (2.21).

Власні значення λ_x і власні функції X(x, λ_x) знайдемо як рішення відповідної задачі Штурма-Ліувілля

з граничними умовами

Позначимо . Тоді

. (2.26)

Рівняння (2.21) здобуває вигляд:

(2.27)

Обчисливши інтеграли в цьому рівнянні, одержуємо:

Тут для простоти ми розглядаємо джерела загоряння у вигляді "точкових" джерел - площадок малого розміру , розташованих на розглянутій поверхні випадковим образом з інтенсивностями q_m.

(2.28)

Граничні умови:

(2.29)

(2.30)

Щодо змінної y маємо наступну задачу на власні значення й функції.

Власні функції шукаємо у вигляді

З першої умови (2.30) знаходимо

Власні значення знаходимо із другої умови (2.30).

(2.31)

Або

. (2.32)

Розвязання цього рівняння дає власні значення .