168753 (Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод), страница 2

Математичні моделі міграції

Зупинимося тепер на математичних моделях міграції (поширення) у фільтраційних потоках неконсервативних забруднюючих речовин (домішок). Неконсервативність такої домішки породжується їхньою взаємодією в результаті різних хімічних і біохімічних перетворень. Тому математична модель таких хімічних і біохімічних взаємодій будується за допомогою системи диференціальних рівнянь щодо концентрації кожної з речовини, що вступає в реакцію.

У підземні води можуть попадати й інші неконсервативні речовини, які добре взаємодіють із киснем, що втримується в підземних водах. Тому, якщо концентрацію неконсервативної речовини позначити через c_нв, а концентрацію розчиненого в підземних водах кисню - c_РК, то поширення таких речовин у підземних водах можна описати наступною системою рівнянь:

(1.28)

(1.29)

(1.30)

(1.31)

Члени рівнянь, що містять функцію , описують кінетику хімічної або біохімічної взаємодії (окислювання хімічної речовини або деструкцію органічної речовини за рахунок подиху мікроорганізмів). Опис цієї взаємодії представляє досить складне завдання. Однак для такого опису можна використати деякі закони хімічної кінетики. Зокрема, якщо скористатися законом діючих мас, то дана взаємодія буде описуватися відповідно до кінетики ізотермічної бімолекулярної реакції

(1.32)

де зазвичай ставлять m = n = 1.

У практиці математичного моделювання використовуються й більш прості кінетичні залежності, зокрема, можна використати систему рівнянь Стритера - Фелпса:

(1.33)

. (1.34)

У випадку значного перевищення концентрації кисню над концентрацією забруднюючої речовини (малі концентрації забруднення) можна використати ще більш прості залежності, а саме

(1.35)

або

(1.36)

Для моделювання динаміки неконсервативної речовини до рівнянь (1.28)-(1.31) необхідно додати початкові й граничні умови, потім відшукати аналітичне, числено-аналітичне або чисельне рішення відповідної крайової задачі. Зокрема, крайова задача для моделювання динаміки БПК (органіки, що окисляєлегко) і РК (розчиненого кисню) при плоско-вертикальній фільтрації підземних вод записується в такому виді:

(1.37)

(1.38)

(1.39)

(1.40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

(1.44)

1.1.2. Моделювання конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації

Процес масопереносу розчинних у підземних водах речовин описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку зі змінними коефіцієнтами, яка у випадку двовимірної плоско-вертикальної (профільної) сталої фільтрації підземних вод за умови сталості коефіцієнта конвективної дифузії має такий вигляд:

(1.45)

(1.46)

(1.47)

де D - коефіцієнт конвективної дифузії в м /сут, c й N - концентрація речовин, що дифундують, у г/л або кг/м відповідно в рідкій і твердій фазах; v_x(x, y, t) і v_y(x, y, t) - координати вектора швидкості фільтрації в м/сут; σ - пористість або активна пористість ґрунту, у якому відбувається рух вод і конвективная дифузія розчинної речовини; α - постійна масообміну (швидкості сорбції); c₀ - початкова концентрація речовини в рідкій фазі; β - коефіцієнт розподілу речовини між рідкою й твердою фазами в умовах рівноваги за законом лінійної ізотерми Генрі, що виражається рівністю c_p = βN, причому через c_p позначена рівноважна концентрація розчину, по величині рівна кількості речовини, що поглинає твердою фазою; - потенціал швидкості фільтрації; χ - коефіцієнт фільтрації в м/сут; - напір в м; p-тиск у
Н(м² =кг/м·c² ); ρ - щільність у кг/м³; g - прискорення сили ваги в м/с².

Розглянемо конвективну дифузію тих розчинних речовин, які нейтральні до наявних у ґрунті породам, тобто надалі сорбцією й іншими видами поглинання забруднюючі підземні води компонентів знехтуємо й будемо виходити з наступної системи рівнянь фільтрації й конвективної дифузії (гідравлічної дисперсії):

(1.48)

(1.49)

При конвективній дифузії речовин, що забруднюють підземні води, на вході АВ фільтраційного потоку можна прийняти одне з наступних граничних умов:

а) задана концентрація розчиненого у водоймі (ріці) речовини

(1.50)

б) задана умова Данквертса, що враховує як конвективний, так і дифузійний механізми відводу речовини на водопроникній ділянці границі області фільтрації

(1.51)

де n - нормаль до границі; v_n - нормальна складова швидкості фільтрації.

На водонепроникних ділянках границі області фільтрації й на криві депресії виконується умова

(1.52)

На ділянці виходу фільтраційного потоку (CD) можна приймати одне з наступних граничних умов:

а)задана концентрація речовини, що дифундує, або задана умова Данквертса (такі умови приймаються, якщо не спостерігається інтенсивного відводу вод на виході фільтраційного потоку)

(1.53)

б) задана умова, що враховує тільки конвективний перенос через границю (у випадку інтенсивного відводу вод на виході фільтраційного потоку)

(1.54)

При конвективній дифузії солей і гіпсів, що залягають на певній глибині T фільтраційного потоку, на границі із сіллю або гіпсом звичайно приймається умова

(1.55)

де - концентрація повного насичення солі або гіпсу.

Початкові умови засолення підземних вод, мають вигляд

(1.56)

де c₀ - задана концентрація речовини, що дифундує, в області фільтрації в момент часу до настання процесу забруднення (засолення) або промивання підземного середовища.

Трудність, що виникає при рішенні стаціонарних і нестаціонарних крайових завдань, що описують двовимірні процеси, зв'язана не тільки з видом рівнянь у частинних похідних і з видом граничних умов, а головним чином з видом (геометрією) області, у якій відшукується рішення. У зв'язку із цим у рівняннях конвективної дифузії й у наведених вище граничних умовах доцільно перейти до нових незалежних змінних координат комплексного потенціалу ω, що, як відомо, має вигляд багатокутника зі сторонами, паралельними прямокутній системі координат.

Нехай відома характеристична функція течії

(1.57)

яку можна знайти, наприклад, методом конформних відображень. Тоді, зробивши в рівнянні конвективної дифузії (1.49) заміну змінних й одержимо наступне рівняння.

Взявши середню величину , що входить у праву частину рівняння (1.49) по області наведеного комплексного потенціалу , і заміняючи її деякою середньою величиною , розглянемо два типи нестаціонарних крайових завдань.

Перший тип крайових завдань виникає при фільтрації забруднених вод у відкриті водойми (водоймища), коли в останні підтримується задана концентрація речовин. Ці задачі формулюються в такий спосіб: потрібно знайти рішення рівняння

(1.58)

задовольняючій або граничній умовам виду (перша задача)

(1.59)

або умовам, що враховують механізм дифузійного відводу речовини від границі на вході фільтраційної течії (друга задача):

(1.60)

і початковій умові

(1.61)

Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що рішенням двовимірних крайових завдань (1.58), (1.59), (1.61) і (1.58), (1.60), (1.61) будуть функції й , що є рішеннями відповідних одномірних крайових завдань:

(1.62)

(1.63)

(1.64)

(1.65)

Підставляючи це рішення у вигляді суми рішень стаціонарного й нестаціонарного завдань і застосовуючи метод поділу змінних, одержимо рішення нестаціонарних завдань конвективної дифузії, які після розподілу на c₁ і введення безрозмірних величин і запишуться в наступному вигляді.

(1.66)

(1.67)

де власні значення й визначаються рівняннями

(1.68)

(1.69)

Коефіцієнти й обчислюються за формулами

(1.70)

(1.71)

Другий тип крайових задач конвективної дифузії підземної води, речовин що забруднять, характеризується гарничною умовою, що приймається на виході фільтраційного потоку, коли спостерігається інтенсивний відвід із дренажного каналу CD. У цьому випадку рішенням стаціонарних задач буде стала, значення якої залежить від крайової умови на вході фільтраційного потоку.

Тому перейдемо до розгляду нестаціонарних завдань. Осереднюючи швидкість фільтрації по просторовим змінним, приходимо до наступних двох крайових завдань: Потрібно знайти рішення рівняння

(1.72)

задовольняючим крайовим умовам:

(1.73)

а у випадку обліку механізму дифузійного відводу речовини на вході фільтраційного потоку (друга крайова задача) потрібно знайти вирішення рівняння

(1.74)

задовольняючим крайовим умовам:

(1.75)

Застосування методу Фур'є до крайової задачі(1.72)-(1.73) дає вирішення

(1.76)

де , функція визначається рівностями

(1.77)

(1.78)

Коефіцієнти обчислюються по наступній формулі:

. (1.79)

Рішення крайової задачі (1.74)-(1.75) одержуємо в наступному виді: