112723 (Линия "Формализация и моделирование" учебного курса "Информатика"), страница 5
Описание файла
Документ из архива "Линия "Формализация и моделирование" учебного курса "Информатика"", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "педагогика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "112723"
Текст 5 страницы из документа "112723"
• наличие реального объекта моделирования;
• наличие количественных характеристик объекта: входных и выходных параметров;
• наличие математической связи между входными и выходными параметрами;
• реализация модели с помощью определенных компьютерных средств.
В качестве примера использования электронных таблиц для математического моделирования рассмотрим задачу о выборе места строительства железнодорожной станции из учебников.
Условие задачи. Пять населенных пунктов расположены вблизи прямолинейного участка железной дороги. Требуется выбрать место строительства железнодорожной станции, исходя из следующего критерия: расстояние от станции до самого удаленного пункта должно быть минимально возможным.
Для решения задачи выбирается система координат, в которой ось Х направлена по железнодорожной линии. В этой системе задаются координаты населенных пунктов. Допустим, что расстояние между самыми удаленными в направлении оси Х пунктами равно 10 км. Начало координат выберем так, чтобы Х-координата самого левого пункта была равна 0. Тогда Х-координата самого правого пункта будет равна 10. Пусть координаты всех населенных пунктов в этой системе будут следующими:
1 - (0, 6); 2 - (2, 4); 3 - (5, -3); 4 - (7, 3); 5 - (10, 2).
В данном списке указан порядковый номер пункта и его координаты.
Ниже приводится проект электронной таблицы (табл. 10.3), решающей эту задачу.
Таблица 3
| А | В | С | D | Е | F | G | Н | I | |
| 1 | Шаг= | 2 | км | ||||||
| 2 | Координаты | Положение | станции | ||||||
| 3 | № | X | У | 0 | DЗ+$Е$1 | ЕЗ+$Е$1 | FЗ+$Е$1 | C3+$Е$1 | НЗ+$Е$1 |
| 4 | 1 | 0 | 6 | К(1,1) | R(1,2) | R(1,3) | R(1,4) | R(1,5) | R(1,6) |
| 5 | 2 | 2 | 4 | R(2,1) | R(2,2) | R(2,3) | R(2,4) | R(2,5) | R(2,6) |
| 6 | 3 | 5 | -3 | R(3,1) | R(3,2) | R(3,3) | R(3,4) | R(3,5) | R(3,6) |
| 7 | 4 | 7 | 3 | R(4,1) | R(4,2) | R(4,3) | R(4,4) | R(4,5) | R(4,6) |
| 8 | 5 | 10 | 2 | R(5,1) | R(5,2) | R(5,3) | R(5,4) | R(5,5) | R(5,6) |
| 9 | Макс.: | Мах (D4.-D8) | Мах (Е4.-Е8) | Мах (F4.-F8) | Мах (G4:G8) | Мах (Н4:Н8) | Мах (I4:I8) | ||
| 10 | Миним. | расст.: | Min (D9:D9) | ||||||
Для решения задачи применяется метод дискретизации: на участке железной дороги, ограниченном Х координатами от 0 до 10, рассматривается конечное число возможных положений станции, отстоящих друг от друга на равных расстояниях (шаг дискретизации). Для каждого положения станции вычисляются расстояния до каждого населенного пункта и среди них выбирается наибольшее расстояние. Искомым результатом является положение станции, соответствующее минимальному из этих выбранных величин.
Очевидно, что точность найденного решения зависит от шага перемещения станции (шага дискретизации). В приведенной таблице идя уменьшения ее размера выбран довольно грубый шаг, равный 2 км. Тогда на всем участке помещается 5 таких шагов и, следовательно, анализируется 6 возможных положений станции (включая положение, соответствующее Х = 0).
В табл. 3 формулы вычисления расстояний условно обозначены R(i,j). Здесь первый индекс обозначает номер населенного пункта (от 1 до 5), а второй — номер положения станции (от 1 до 6). Вот примеры некоторых формул на языке электронной таблицы МS Ехсеl:
R(1,1) = КОРЕНЬ(($В4-D$3)^2+$С4^2)
R(1, 2) = КОРЕНЬ(($B5D$3)^2+$C5^2) и т.д.
Таблица 4
| А | В | С | D | Е | F | G | Н | I | |||||||
| 1 | Шаг= | 2 | км | ||||||||||||
| 2 | Координаты | Положение | станции | ||||||||||||
| 3 | № | X | У | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | ||||||
| 4 | 1 | 0 | 6 | 6,00000 | 6,32456 | 7.21110 | 8,48528 | 10,00000 | 11,66190 | ||||||
| 5 | 2 | 2 | 4 | 4,47214 | 4,00000 | 4.47214 | 5,65685 | 7,21110 | 8,94427 | ||||||
| 6 | 3 | 5 | -3 | 5,83095 | 4,24264 | 3.16228 | 3,16228 | 4,24264 | 5,83095 | ||||||
| 7 | 4 | 7 | 3 | 7,61577 | 5,83095 | 4.24264 | 3,16228 | 3,16228 | 4,24264 | ||||||
| 8 | 5 | 10 | 2 | 10,19800 | 8,24621 | 6.32456 | 4,47214 | 2,82843 | 2,00000 | ||||||
| 9 | Макс.: | 10,19800 | 8,24621 | 7.21110 | 8,48528 | 10,00000 | 11,66190 | ||||||||
| 10 | Миним. | расст.: | 7.21110 | ||||||||||||
В табл. 4 приведены числовые результаты расчетов решения данной задачи. Окончательный ответ следующий: железнодорожную станцию следует размещать в 4 км от начала координат. При этом самым удаленным от нее окажется населенный пункт номер 1 — на расстоянии 7,21 км. Следует иметь в виду, что полученный результат довольно грубый, поскольку его погрешность по порядку величины равна шагу (2 км).
Такой способ решения задачи оказывается, в некотором смысле, полуавтоматическим. Ученик приходит к окончательному ответу, анализируя полученную числовую таблицу. Визуально он определяет, какому положению станции соответствует (в каком столбце таблицы находится) найденное оптимальное расстояние 7,21 км. Если требуется уменьшить шаг дискретизации, то, изменив величину шага в ячейке Е1, нужно будет увеличивать число столбцов в расчетной таблице. Делается это легко, простым копированием столбцов. Максимальный размер электронной таблицы, хотя и ограничен, но все-таки достаточно большой (в Exsel — 256 столбцов). Правда, в этом случае придется подправить формулу в ячейке D10.
Все эти дополнительные проблемы компенсируются прозрачностью модели. Ученик видит все промежуточные результаты расчетов, видит весь механизм работы выбранной модели. Понятие вычислительного эксперимента становится для учеников более содержательным, более наглядным.
Электронная таблица — средство более высокого уровня, чем язык программирования. В то же время задача проектирования расчетной таблицы того же типа, что нами рассмотрена, совсем не тривиальна. Можно говорить о том, что язык электронных таблиц — это своеобразный язык программирования — язык табличных алгоритмов. Следовательно, этап алгоритмизации в табличном способе математического моделирования тоже присутствует. Большим достоинством электронных таблиц является возможность легко осуществлять графическую обработку данных, что бывает очень важным в математическом моделировании.
