86400 (Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломна робота

Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь

ВВЕДЕННЯ

У стародавності тригонометрія виникла у зв'язку з потребами астрономії, будівельної справи, тобто носила чисто геометричний характер і представляла головним чином <>. Згодом у неї почали вкраплятися деякі аналітичні моменти. У першій половині 18-го століття відбувся різкий перелом, після чого тригонометрія прийняла новий напрямок і змістилася убік математичного аналізу. Саме в цей час тригонометричні залежності стали розглядатися як функції.

Тригонометричні рівняння одна із самих складних тем у шкільному курсі математики. Тригонометричні рівняння виникають при рішенні задач по планіметрії, стереометрії, астрономії, фізики й в інших областях. Тригонометричні рівняння й нерівності рік у рік зустрічаються серед завдань централізованого тестування.

Найважливіша відмінність тригонометричних рівнянь від алгебраїчних полягає в тому, що в алгебраїчних рівняннях кінцеве число корінь, а в тригонометричних нескінченне, що сильно ускладнює відбір корінь. Ще одною специфікою тригонометричних рівнянь є не одиничність форми запису відповіді.

Дана дипломна робота присвячена методам рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей.

Дипломна робота складається з 6 розділів.

У першому розділі наведені основні теоретичні відомості: визначення й властивості тригонометричних і зворотних тригонометричних функцій; таблиця значень тригонометричних функцій для деяких аргументів; вираження тригонометричних функцій через інші тригонометричні функції, що дуже важливо для перетворення тригонометричних виражень, що особливо містять зворотні тригонометричні функції; крім основних тригонометричних формул, добре відомих зі шкільного курсу, наведені формули вираження, що спрощують, утримуючі зворотні тригонометричні функції.

У другому розділі викладені основні методи рішення тригонометричних рівнянь. Розглянуто рішення елементарних тригонометричних рівнянь, метод розкладання на множники, методи відомості тригонометричних рівнянь до алгебраїчного. Через те, що рішення тригонометричних рівнянь можна записати декількома способами, і вид цих рішень не дозволяє відразу встановити, чи є ці рішення однаковими або різними, що може <> при рішенні тестів, розглянута загальна схема рішення тригонометричних рівнянь і докладно розглянуте перетворення груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.

У третьому розділі розглядаються нестандартні тригонометричні рівняння, рішення яких засноване на функціональному підході.

У четвертому розділі розглядаються тригонометричні нерівності. Докладно розглянуті методи рішення елементарних тригонометричних нерівностей, як на одиничній окружності, так і графічним методом. Описано процес рішення неелементарних тригонометричних нерівностей через елементарні нерівності й уже добре відомий школярам метод інтервалів.

У п'ятому розділі представлені найбільш складні завдання: коли необхідно не тільки вирішити тригонометричне рівняння, але й зі знайдених корінь відібрати корінь, що задовольняють якій-небудь умові. У даному розділі наведені рішення типових завдань на відбір корінь. Наведено необхідні теоретичних відомості для відбору корінь: розбивка множини цілих чисел на непересічні підмножини, рішення рівнянь у цілих числах (діафантових).

У шостому розділі представлені задачі для самостійного рішення, оформлені у вигляді тесту. В 20 завданнях тесту наведені найбільш складні завдання, які можуть зустрітися на централізованому тестуванні.

ОСНОВНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

Елементарні тригонометричні рівняння

Елементарні тригонометричні рівняння - це рівняння виду

де - одна із тригонометричних функцій

,

,

,

.

Елементарні тригонометричні рівняння мають нескінченно багато корінь. Наприклад, рівнянню

задовольняють наступні значення

,

,

,

і т.д. Загальна формула по який перебувають всі коріння рівняння

, де

, така:

Тут може приймати будь-які цілі значення, кожному з них відповідає певний корінь рівняння; у цій формулі (так само як і в інших формулах, по яких вирішуються елементарні тригонометричні рівняння)

називають параметром. Записують звичайно

, підкреслюючи тим самим, що параметр

приймати будь-які цілі значення.

Рішення рівняння

де , перебувають по формулі

Рівняння вирішується застосовуючи формулу

а рівняння -по формулі

Особливо відзначимо деякі окремі випадки елементарних тригонометричних рівнянь, коли рішення може бути записане без застосування загальних формул:

При рішенні тригонометричних рівнянь важливу роль грає період тригонометричних функцій. Тому приведемо дві корисні теореми:

Теорема Якщо --- основний період функції

, то число

є основним періодом функції

.

Періоди функцій і

називаються порівнянними, якщо існують натуральні числа

й

, що

.

Теорема Якщо періодичні функції й

, мають порівнянні

й

, те вони мають загальний період

що є періодом функцій

,

,

У теоремі говориться про те, що є періодом функції

,

,

і не обов'язково є основним періодом. Наприклад, основний період функцій

і

-

а основний період їхнього добутку - .

Введення допоміжного аргументу

Стандартним шляхом перетворення виражень виду

є

наступний прийом: нехай - кут, що задається рівностями

Для будь-яких і

такий кут існує. У такий спосіб

Якщо

,

або

,

,

в інших випадках

Схема рішення тригонометричних рівнянь

Основна схема, який ми будемо керуватися при рішенні тригонометричних рівнянь наступна:

рішення заданого рівняння зводиться до рішення елементарних рівнянь. Засоби рішення -і- перетворення, розкладання на множники, заміна невідомих. Провідний принцип -і- не втрачати корінь. Це означає, що при переході до наступного рівняння (рівнянням) ми не побоюємося появи зайвих (сторонніх) корнів, а піклуємося лише про те, щоб кожне наступне рівняння нашої "ланцюжка" (або сукупність рівнянь у випадку розгалуження) було наслідком попередні. Одним з можливих методів відбору корнів є перевірка. Відразу помітимо, що у випадку тригонометричних рівнянь труднощі, пов'язані з відбором корнів, з перевіркою, як правило, різко зростають у порівнянні з алгебраїчними рівняннями. Адже перевіряти доводиться серії, що складаються з нескінченного числа членів.

Особливо варто сказати про заміну невідомих при рішенні тригонометричних рівнянь. У більшості випадків після потрібної заміни виходить алгебраїчне рівняння. Більше того, не так уже й рідкі рівняння, які, хоча і є тригонометричними по зовнішньому вигляді, по суті такими не є, оскільки вже після першого кроку -і- заміни змінних -і- перетворюються в алгебраїчні, а повернення до тригонометрії відбувається лише на етапі рішення елементарних тригонометричних рівнянь.

Ще раз нагадаємо: заміну невідомого варто робити з першою нагодою, що вийшла після заміни рівняння необхідно вирішити до кінця, включаючи етап відбору корнів, а потім вернеться до первісного невідомого.

Одна з особливостей тригонометричних рівнянь полягає в тім, що відповідь у багатьох випадках може бути записаний різними способами. Навіть для рішення рівняння відповідь може бути записаний у такий спосіб:

1) у вигляді двох серій

,

,

2) у стандартній формі що представляє собою об'єднання зазначених вище серій

,

3) оскільки

те відповідь можна записати у вигляд

,

(Надалі наявність параметра ,

,

або

в записі відповіді автоматично означає, що цей параметр приймає всілякі цілочисленні значення. Виключення будуть обмовлятися.)

Очевидно, що трьома перерахованими випадками не вичерпуються всі можливості для запису відповіді розглянутого рівняння (їх нескінченно багато).

Наприклад, при справедливо рівність

Отже, у двох перших випадках, якщо , ми можемо замінити

на

Звичайно відповідь записується на підставі пункту 2. Корисно запам'ятати наступну рекомендацію: якщо на рішенні рівняння робота не закінчується, необхідно ще провести дослідження, відбір корнів, те найбільш зручна форма запису, зазначена в пункті 1. (Аналогічну рекомендацію варто дати й для рівняння

.)

Розглянемо приклад.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Найбільш очевидним є наступний шлях. Дане рівняння розпадається на два

і

Вирішуючи кожне з них і поєднуючи отримані відповіді, знайдемо