86125 (Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов), страница 3

Пусть - некоторая непустая формация и для каждой группы система состоит из всех -субнормальных в подгрупп.

Покажем, что - подгрупповой функтор. Пусть -субнормальна в . И пусть и - такие члены цепи (1), что , где - нормальная в подгруппа.

Покажем, что - максимальная подгруппа в . Допустим, что для некоторой подгруппы . Тогда поскольку максимальна в , то либо , либо .

Пусть имеет место первое. Тогда поскольку , то . Противоречие. Значит, , т.е. . Поэтому . Противоречие. Итак, ряд таков, что в нём для любого имеет место одно из двух условий:

1) ;

2) - максимальная подгруппа в . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку то

Итак, - -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если - -субнормальная подгруппа в , то - -субнормальная подгруппа в . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп называется формацией, если каждая конечная группа обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом ) со свойством .

Лемма 3.1 Пусть - формация, . Тогда

Доказательство. Пусть . Тогда

Отсюда следует, что . С другой стороны, поскольку - гомоморф, то

Откуда получаем . Из и следует равенство .

Лемма доказана.

Пример 10. Пусть - некоторый класс конечных групп и - формация. Пусть для любой группы

Покажем, что - подгрупповой - функтор.

Действительно, пусть и . Тогда , и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем

Следовательно, . Аналогично, если , то . Следовательно, - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .

Пример 11. Для каждой группы через обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из . Понятно, что - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

4. Решетки подгрупповых функторов

Аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.

Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.

Пусть - некоторый класс групп. Будем говорить, что - ограниченный класс, если найдется такое кардинальное число , что для всех имеет место . Везде в дальнейшем мы предполагаем, что - некоторый ограниченный класс групп.

Обозначим через, множество всех подгрупповых -функторов, а через - множество всех замкнутых подгрупповых -функторов. На множестве введем частичный порядок , полагая, что имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы справедливо .

Для произвольной совокупности подгрупповых -функторов определим их пересечение для любой группы . Понятно, что - нижняя грань для в . Мы видим, что - полная решетка с нулем и единицей . Понятно, что функтор , где для всех , является верхней гранью для в .

Заметим, что если - произвольный набор замкнутых подгрупповых -функторов, то, очевидно, - замкнутый подгрупповой -функтор. А поскольку замкнутым является и функтор , мы видим, что также является полной решеткой.

Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны со свойствами групп, входящих в . Отметим, например, что если содержится в классе конечных групп, то решетка является цепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа класс состоит из элементарно-абелевых -групп. С другой стороны, решетка является цепью тогда и только тогда, когда все группы из являются -группами. Покажем, что в общем случае не является подрешеткой в . Для этого достаточно установить, что если - класс всех конечных групп и , , где и - различные простые числа, то функтор не является замкнутым. Пусть , где - группа порядка , a - группа порядка . Понятно, что и . Таким образом, если бы функтор был бы замкнутым, то мы бы имели Но, как нетрудно заметить, во множество входят лишь такие подгруппы из для которых имеет место одно из двух: или . Это означает, что . Следовательно, функтор не является замкнутым.

5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов

Сопоставляя классу конечных групп решетки и можно изучать свойства групп из в зависимости от свойств решеток и .

Лемма 20.6. Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда .

Доказательство. Если - канонический эпиморфизм на , то

Так как мы видим по определению подгрупповых функторов, что .

Лемма доказана.

Пусть - элемент группы . Тогда если для некоторого натурального числа имеет место , то наименьшее натуральное число с таким свойством называется порядком элемента . Говорят, что - группа экспоненты , если каждый ее неединичный элемент имеет порядок .

Пусть - простое число. Тогда группа называется элементарно абелевой -группой, если - абелева группа экспоненты .

Лемма 20.7. Пусть , - элементарно абелевы -группы с . Тогда имеет подгруппу такую, что .

Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда - бесконечная группа.

Пусть и , где для всех и . Пусть - подмножество в такое, что . И пусть , где и . Тогда ясно, что

Следовательно, .

Лемма доказана.

Напомним, что класс групп называется наследственным, если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечным многообразием, если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямое произведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп.

Пусть - простое число, делящее порядок группы . Подгруппа группы называется силовской -подгруппой в , если и - степень числа . Известная в теории групп теорема Силова утверждает, что для любого простого числа в любой конечной группе с имеется силовская -подгруппа. Конечная группа называется -группой, если ее порядок является степенью числа .

Обозначим через - класс всех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы

Теорема. Пусть - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть прямое произведение факторалгебр и

Тогда - мономорфизм алгебры в алгебру и входит подпрямо в ., класс является формацией. Обычно вместо пишут . Подгруппа называется коммутантом группы . В теории групп хорошо известно, что если - конечная -группа, то . Легко проверить, что если , то

Теорема 20.8. Пусть - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в является элементарно абелевой -группой.

Доказательство. Мы сначала предположим, что каждая группа в является элементарно абелевой -группой. Тогда для каждого кардинального числа , мы полагаем (см. пример 20.2). Понятно, что влечет, что . Для доказательства того, что является цепью нам необходимо только показать, что для любого подгруппового функтора со свойством найдется кардинальное число такое, что

Предположим, что для всех кардинальных чисел . Тогда . Поскольку , то найдется группа такая, что для некоторой ее подгруппы мы имеем . Пусть . Поскольку , найдется группа такая, что для некоторой ее подгруппы мы имеем . По лемме 20.6, мы видим, что для всех подгрупп из , удовлетворяющих условию , мы имеем . Следовательно, . Используя лемму 20.7, мы видим, что имеется подгруппа в группе такая, что

Но , и поэтому . Если - канонический эпиморфизм, который отображает на , то , и поэтому . Это противоречие показывает, что для некоторого кардинального числа имеем место .

Так как и так как каждая группа в - либо конечна, либо счетна, то найдется натуральное число такое, что . Пусть - наименьшее натуральное число такое, что . Мы покажем, что . Предположим, что и пусть - группа из такая, что . В этом случае пусть . Тогда . Теперь, по выбору числа , мы имеем . Это означает, что найдется группа такая, что для некоторой подгруппы из с . Пусть - подгруппа в такая, что и . Тогда . Так как , мы имеем , и поэтому . Но тогда , и поэтому , противоречие. Следовательно Значит, .

Теперь мы предположим, что решетка является цепью. Пусть и - конечная группа. Предположим, что порядок группы делится по крайней мере на два простых числа и . Пусть

И пусть - силовская -подгруппа в и - силовская -подгруппа в , соответственно. Тогда

Значит, и . Это показывает, что не является цепью, что противоречит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число , что каждая конечная группа из является -группой.

Мы теперь покажем, что каждая группа в является абелевой. Предположим, что это не так и пусть - неабелева группа в . В этом случае некоторая ее подгруппа , порожденная элементами , является конечной неабелевой -группой. Так как по условию класс является наследственным, то . Пусть , где - класс всех абелевых групп. Поскольку , то , и поэтому . Следовательно, мы имеем . Теперь пусть где . И пусть - коммутант подгруппы , . Тогда и ясно, что . Значит, . Но поскольку , мы имеем . Таким образом, не является цепью. Полученное противоречие показывает, что каждая группа в является абелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из делит число .