86125 (Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86125"
Текст 2 страницы из документа "86125"
Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа субнормальна в , то пишут ( ).
Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.
Собственная подгруппа неединичной группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись
В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .
Коммутатором элементов и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .
Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом, .
Для любой неединичной подгруппы можно построить цепочку коммутантов
Если существует номер такой, что , то группа называется разрешимой.
Если - непустое подмножество группы и , то
Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то
Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,
Пусть и - мультипликативные группы. Отображение называется гомоморфизмом группы в группу , если для любых и .
Если - подмножество группы , то образ при гомоморфизме , а - образ гомоморфизма . Образ гомоморфизма также обозначают через .
Ядром гомоморфизма называется множество где - единичный элемент группы . Другими словами, в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении в единичный элемент группы .
Гомоморфизм называется мономорфизмом, если . Из леммы 1 следует, что гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение - инъекция.
Если , то гомоморфизм называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае - сюръекция.
Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.
2. Используемые результаты
Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда:
(1) если - подгруппа группы и , то - подгруппа факторгруппы ;
(2) каждая подгруппа факторгруппы имеет вид , где - подгруппа группы и ;
(3) отображение является биекцией множества S на множество S ;
(4) если S , то - нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа факторгруппы .
Лемма 1.2 Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:
(1) единичный элемент группы переходит в единичный элемент группы , т.е. ;
(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е. для всех ;
(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы , т.е. ;
(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы , т.е. ;
(5) тогда и только тогда где когда .
Лемма 1.3 Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:
(1) если , то ;
(2) если , то ;
(3) если подмножества и сопряжены в , то и сопряжены в .
Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если - гомоморфизм, то .
Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда для любой подгруппы пересечение является нормальной подгруппой в подгруппе , а отображение
является изоморфизмом групп и .
Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если и - нормальные подгруппы группы , причем , то изоморфна .
Лемма 3.1 Пусть - формация, . Тогда
Лемма 20.6. Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда .
Лемма 20.7. Пусть , - элементарно абелевы -группы с . Тогда имеет подгруппу такую, что .
Теорема. Пусть - такой набор конгруэнций -алгебры A, что . Пусть прямое произведение факторалгебр и
Тогда - мономорфизм алгебры в алгебру и входит подпрямо в .
Теорема 20.8. Пусть - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в является элементарно абелевой -группой.
Теорема 20.9. Пусть - конечная группа и - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае является элементарной абелевой -группой, когда решетка является цепью.
Лемма 24.9 Пусть - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть - замкнутый подгрупповой функтор на Пусть - нильпотентная группа в и Предположим, что , где - простое число. Пусть - нильпотентная группа в такая, что и Тогда
Лемма 24.10 Пусть - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и Пусть Если - идемпотент в , удовлетворяющий условию и , где тогда
Теорема 24.11 Пусть - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в конечная. Тогда ширина решетки всех идемпотентов в конечна и в том и только в том случае, когда состоит из нильпотентных групп и
3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов
Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия: 1) для всех ;
2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и
Подгрупповой -функтор называется:
1) замкнутым, если для любых двух групп и имеет место ;
2) тривиальным, если для любой группы имеет место
;
3) единичным, если для любой группы система состоит из всех подгрупп группы G.
Тривиальный подгрупповой -функтор обозначается символом , а единичный - символом .
Если и - подгрупповой -функтор, то - такой подгрупповой -функтор, что для всех . Такой функтор называется ограничением функтора на классе .
Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда - класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.
Пример 1. Пусть для любой группы ,
Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись .
Пример 2. Пусть - совокупность всех нормальных подгрупп группы для каждой группы . Такой функтор в общем случае замкнутым не является.
Пример 3. Пусть - произвольное натуральное число. Для каждой группы через обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых . Понятно, что - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Пример 4. Пусть - произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы .
Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .
Если - подгруппа группы , то символом обозначается мощность множества .
Пример 5. Пусть - простое число и пусть для любой группы система в нет такой подгруппы , что , - натуральное число, взаимнопростое с .
Покажем, что - подгрупповой функтор.
Действительно, пусть и . Предположим, что
где - натуральное число. Тогда - натуральное число и
Следовательно, , и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если
то . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если - некоторый класс конечных групп и , то - замкнутый подгрупповой функтор.
Пример 6. Пусть . И пусть для каждой группы множество совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Напомним, что подгруппа группы называется абнормальной в , если всегда из следует, что .
Пример 7. Пусть для любой группы множество совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .
Пример 8. Пусть - произвольный класс групп. Подгруппа группы называется - абнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:
1) ;
2) и для любых двух подгрупп и из , где и - максимальная подгруппа в имеет место .
Легко видеть, если группа разрешима, то ее подгруппа абнормальна в тогда и только тогда, когда она -абнормальна в .
Сопоставляя каждой группе множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись .
Пример 9. Подгруппа группы называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:
1) ;
2) и в имеется такая цепь подгрупп где - максимальная в подгруппа, содержащая , .