86125 (Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов)
Описание файла
Документ из архива "Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "86125"
Текст из документа "86125"
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Курсовая работа
Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Ларченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
Перечень условных обозначений
1. Общие определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов
4. Решетки подгрупповых функторов
5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов
Заключение
Список использованных источников
Введение
Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу и подгруппами из факторуппы существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.
Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).
Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор или подгрупповой функтор на , если выполняются следующие условия:
1) для всех ;
2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и
Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.
Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.
Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.
В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.
Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.
Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.
В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".
Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.
Перечень условных обозначений
- принадлежность элемента множеству;
- знак включения множеств;
- знак строгого включения;
и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
Пусть - группа. Тогда:
- порядок группы ;
- порядок элемента группы ;
- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
- является подгруппой группы ;
- является собственной подгруппой группы ;
- является максимальной подгруппой группы ;
- является нормальной подгруппой группы ;
- является субнормальной подгруппой группы ;
- является минимальной нормальной подгруппой группы ;
- факторгруппа группы по подгруппе ;
- индекс подгруппы в группе ;
- нормализатор подгруппы в группе ;
Если и - подгруппы группы , то:
- и изоморфны.
Пусть - группа, и , тогда:
- правый смежный класс,
- левый смежный класс;
- совокупность всех нормальных подгрупп группы ;
- группа порядка ;
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная элементами и .
- подгрупповой - функтор или подгрупповой функтор на , где - некоторый класс групп;
- совокупность всех - подгрупп группы ;
- тривиальный подгрупповой - функтор;
- единичный подгрупповой - функтор;
- ограничение подгруппового - функтора на класс групп ;
- пересечение системы подгрупповых - функторов ;
- решётка всех подгрупповых - функторов;
- решётка всех замкнутых подгрупповых - функторов;
Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
1. Общие определения и обозначения
Бинарной алгебраической операцией на множестве называют отображение декартова квадрата во множество . Если - бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре элементов из соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на обозначают одним из символов: и т.д. Если, например, вместо условимся писать , то вместо пишем .
Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если для всех .
Если для всех , то операция называется ассоциативной.
Если для всех , то операция называется коммутативной.
Элемент называется единичным, если для всех .
Обратным к элементу называется такой элемент , что .
Полугруппой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. для всех и ;
(2) операция ассоциативна, т.е. для любых .
Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. для всех и ;
(2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;
(3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех ;
(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.
Если - конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число элементов в - порядком группы .
Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на ;
(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения , имеют решения для любых элементов .
Подмножество группы называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: - подгруппа группы .
Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой, если для всех и
Собственной называется подгруппа, отличная от группы.
Пусть - группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы .
Аналогично определяется левый смежный класс
Если - конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы в группе и обозначается через .
Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается так: - нормальная подгруппа группы Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .
Пусть - нормальная подгруппа группы . Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе , т.е. . Группа называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается через .
Условимся через S обозначать совокупность всех подгрупп группы , содержащих подгруппу . В частности, S = S - совокупность всех подгрупп группы , а S .
Каждая нормальная подгруппа группы определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку
вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом в .
Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е. для