86020 (Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени), страница 6

До сих пор мы рассуждали только о процессе проявления мировых линий, молчаливо допуская, что в промежутках между ними нет материальных объектов и проявляться нечему. Однако, как показано выше, вектор массы может характеризовать не только мировую линию, но и изотропную. Конечно, вектор массы характеризует не саму «пустую» линию как геометрический объект, а физический процесс, связанный с линией. Изотропные прямые проходят через каждую точку псевдоевклидовой плоскости, но, возможно, не каждая изотропная служит проводником электромагнитного воздействия. И, по-видимому, подобно тому, как имеются проявленные и непроявленные части мировых линий, должны существовать проявленные и непроявленные части изотропных линий. Вспомним, что изотропным свойственна двоякая мера длины. В метрическом отношении длина любого отрезка изотропной равна нулю, и может показаться лишенным смысла представление о процессе, совершающемся на пути нулевой длины. Однако в линейном отношении отрезки одной и той же изотропной различаются своими длинами, что позволяет говорить о распространении процесса вдоль изотропной. Та точка изотропной, до которой дошел процесс проявления, приобретает физическое свойство, характеризуемое изотропным вектором массы, благодаря чему в этой точке может быть осуществлена передача энергии и импульса от изотропной к мировой линии, если таковая встретится. В тех же точках, до которых процесс проявления еще не дошел, во-первых, нечего передавать, во-вторых, нечему передавать, поскольку там нет и проявленных точек мировой линии. Изотропные линии в качестве проявляемых объектов заполняют пространство между мировыми линиями, и благодаря этому можно (на макроскопическом уровне) представлять проявляющий фронт в псевдоевклидовой плоскости не в виде множества изолированных точек на мировых линиях, а в виде некоторой сплошной линии, прямой или кривой.

Хотя доступные нам эксперименты не позволяют определить направление проявляющего фронта, можно высказать некоторые теоретические соображения на этот счет. Линия, представляющая проявляющий фронт в псевдоевклидовой плоскости, должна пересекать все без исключения мировые линии, находящиеся в этой плоскости. Таким свойством обладает всякая прямая, принадлежащая вещественным секторам. Им обладает и кривая линия, у которой касательная в любой точке принадлежит вещественным секторам, или, иначе говоря, положительная нормаль к кривой в любой ее точке принадлежит верхнему сектору. Прямолинейный фронт будет характеризоваться единственным направлением проявляющего движения, перпендикулярным к фронту. Криволинейному фронту отвечает множество перпендикулярных к нему направлений, по которым распространяется проявляющий процесс.

Такое представление о проявляющем фронте не противоречит координатно-геометрическим различиям между абсолютно прошедшим и абсолютно будущим. Для наблюдателя, состояние которого изображается на рис. 3 мировой точкой О, абсолютно будущими являются не только точки его собственной мировой линии, но и точки других мировых линий, находящиеся в верхнем секторе. Например, точка F и все более поздние точки на прямой PF являются абсолютно будущими по отношению к точке О. Но именно такие точки и не могут быть проявлены в тот момент, когда проявляющий фронт проходит через точку О, ибо он не выходит за пределы вещественного сектора. Вместе с тем в этот момент неизбежно оказываются уже проявленными все точки нижнего сектора, исходящего из точки О, в частности точка Р и все более ранние точки на прямой PF. При любом допустимом расположении проявляющего фронта, проходящего через точку О, фронт необходимо пересечет отрезок PF в одной из его внутренних точек, которая и будет абсолютно одновременной точке О. Выше показано, что для любой внутренней точки отрезка PF найдется ортонормированная система координат, в которой эта точка одновременна точке О. Таким образом, абсолютная одновременность неизбежно примет форму относительной одновременности в какой-нибудь координатной системе, хотя мы и не можем узнать, в какой именно.

Все релятивистские эффекты, в том числе и относительность одновременности, обусловлены наклоном мировых линий друг к другу. Наш обыденный опыт и опыт классической механики ограничен мировыми линиями, имеющими близкие направления («почти параллельными»). В таких условиях проявляющий процесс воспринимается с акцентом на абсолютном характере течения времени, и этим объясняется, почему сначала наука считала одновременность инвариантной. Классическое представление о существовании абсолютной одновременности правильно отражало фундаментальное свойство мира, но страдало узостью, поскольку не учитывало богатого разнообразия форм абсолютного процесса проявления. Для, теории относительности, столкнувшейся с таким разнообразием, была бы грехом односторонности противоположная крайность – отрицание абсолютной одновременности. Не имея возможности экспериментально определить направление фронта (абсолютно одновременные точки), мы не знаем и направления нормали к нему. Практическому измерению доступны только длины проявленных участков отдельных мировых линий. Хотя не наложено никаких ограничений на численную величину угла между нормалями, направления их ограничены изотропными прямыми, так что всякая положительная нормаль к проявляющему фронту в псевдоевклидовой плоскости принадлежит одному и тому же мнимому сектору (который мы изображаем на рисунках в виде верхнего сектора). Только в этом смысле мы и можем говорить об определенности положительного направления проявляющего процесса.

Если есть какой-либо реальный физический смысл в представлении об обратном направлении течения времени, то это должно быть не что иное, как возвращение проявляющего процесса вспять по всем мировым линиям. Тогда надо представлять мир пульсирующим. Прямое движение проявляющего фронта, в результате которого вырастает космическое «дерево» мировых линий, дойдя до некоторого предела, сменится возвратным движением. Эта отрицательная фаза мирового цикла должна быть фазой «свертывания» проявленного мира. Проявляющий фронт превратится в «стирающий» фронт, который покатится назад, оставляя за собой (там, где в положительной фазе цикла находилась непроявленная область будущего) наступающую область непроявленности. Все процессы, протекавшие в прямом цикле с возрастанием энтропии, потекут в обратном направлении с уменьшением энтропии. Для того чтобы из рассеявшихся газов, дыма и пепла сгоревшей сигареты могла восстановиться целая сигарета, процесс ее «сборки» должен быть целенаправленным и управляемым информацией о структуре и путях рассеяния исходного объекта. Но вся эта информация естественным образом заключена в проявленных мировых линиях, а целенаправленность обеспечивается тем, что процесс «стирания» идет по проложенным ранее путям и не может привести ни к чему иному, как к тем пунктам, которые были исходными в процессе проявления.

2.2.3 Трехмерное псевдоевклидово пространство

До сих пор мы рассматривали мир Минковского в плоском сечении, что позволило упростить математический аппарат и представить в наиболее наглядной форме геометрическую интерпретацию эффектов специальной теории относительности. Однако такое упрощение обедняло картину мира. Чтобы понять, почему мировое пространство кажется нам трехмерным и собственно евклидовым, необходимо перейти к четырехмерной модели мира Минковского, но прежде рассмотрим в качестве промежуточной ступени трехмерное псевдоевклидово пространство.

Трехмерное псевдоевклидово пространство является разновидностью трехмерного линейного пространства. Вспомним, что линейное пространство обладает метрическими свойствами, если в нем определена операция скалярного умножения его элементов. Метрические свойства пространства могут быть исчерпывающе характеризованы метрическими отношениями между векторами базиса. Для того чтобы метрические свойства линейного пространства были псевдоевклидовыми, в базисе пространства должны быть как векторы вещественной длины, так и векторы мнимой длины. Для трехмерного пространства это условие может быть выполнено двумя способами:

1) два базисных вектора имеют вещественную длину, а третий – мнимую;

2) одни базисный вектор имеет вещественную длину, а два – мнимую.

По существу оба варианта дают одинаковый тип метрических отношений. Достаточно во втором варианте умножить длины всех базисных векторов на мнимую единицу, чтобы свести его к первому варианту. По той же причине пространство, в котором все три базисных вектора имеют мнимую длину, обладает метрическими свойствами собственно евклидова пространства.

Итак, на основе трехмерного линейного пространства может быть построен по существу только один тип псевдоевклидова пространства. Мы будем описывать его с помощью ортонормированного базиса, характеризуемого следующей таблицей скалярных произведений:

(2.18)

Таблица (2.18) означает, что векторы и являются вещественно-единичными:

а вектор – мнимоединичным:

и любые два вектора базиса , , взаимно перпендикулярны.

Ортонормированный базис , , в сочетании с фиксированной точкой О (полюсом) образует трехмерную ортонормированную систему координат OXYZ (рис. 4). Координатная плоскость OXY имеет базис, состоящий только из векторов вещественной длины , и несет на себе собственно евклидову метрику. В координатных плоскостях OXZ и OYZ один из базисных векторов ( ) имеет длину, выражаемую мнимым числом, и эти плоскости несут на себе псевдоевклидову метрику.

Запишем разложения произвольных векторов а и b трехмерного псевдоевклидова пространства по ортонормированному базису:

(2.19)

и вычислим скалярное произведение с учетом таблицы (2.18):

(2.20)

Применяя формулу (2.20) к скалярному произведению вектора на самого себя, найдем длину (модуль) вектора

(2.21)

Координаты радиус-вектора в ортонормированной системе координат OXYZ будем обозначать буквами х, у, z и называть их координатами точки М, указываемой радиус-вектором:

(2.21)

Длина радиус-вектора, согласно (2.22), равна

(2.23)

Она обращается в нуль, если координаты удовлетворяют условию

или (2.24)

Соотношение (2.24) определяет в трехмерном псевдоевклидовом пространстве геометрическое место точек, радиус-векторы которых являются изотропными. Это геометрическое место точек представляет собой уже не две прямые, как в псевдоевклидовой плоскости, а поверхность. Такой поверхности нет в собственно евклидовом трехмерном пространстве. Для того чтобы придать хотя бы условную наглядность описанию метрических свойств трехмерного псевдоевклидова пространства, мы будем отображать его на трехмерное собственно евклидово пространство, пользуясь совпадением линейных свойств этих пространств. Если каждой точке с координатами х, у, z в псевдоевклидовом пространстве мы поставим в соответствие точку с такими же координатами в пространстве собственно евклидовом, то получим взаимно однозначное отображение одного пространства на другое с сохранением линейных свойств. Именно такое отображение представлено на рис. 4. Метрические свойства псевдоевклидова пространства могут быть переданы в этом отображении лишь условно. Уравнению (2.24), определяющему множество изотропных; радиус-векторов в псевдоевклидовом пространстве, соответствует в собственно евклидовом пространстве, отнесенном к ортонормированной системе координат, поверхность прямого кругового конуса с осью OZ. Поэтому и саму отображаемую поверхность (2.24) в псевдоевклидовом пространстве называют конусом, а именно изотропным конусом.