86020 (Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени), страница 3

.

От Леонарда Эйлера идет обычай обозначать символ буквой (начальной буквой французского слова imaginaire – мнимый, воображаемый):

(2.3)

Этот символ называют мнимой единицей. Тогда для квадратного корня из произвольного отрицательного вещественного числа получаем обозначение

, (2.4)

называемое «мнимым числом ».

В этом названии отразилось то представление, что корень квадратный из отрицательного числа не является числом в «реальном» смысле, что с символом если и связывается какое-либо понятие о числе, то о числе «не настоящем», «выдуманном», «в действительности не существующем». «Выдумка» в данном случае отстоит гораздо дальше от «реальности», подтверждаемой внешней видимостью, чем выдумка иррациональных чисел.

Каждому иррациональному числу, по крайней мере, соответствует определенная точка на координатной оси, а для мнимого числа не удается найти никакого геометрического истолкования или применения. Длины любых отрезков в чувственно воспринимаемом пространстве выражаются вещественными числами, и нет такого отрезка, для выражения длины которого потребовалось бы мнимое число.

Однако у мнимых чисел есть та важная, общая с иррациональными числами черта, что в некоторых случаях операции над символом iy, который не выражает вещественного числа, приводят все-таки к вещественным числам. Это, прежде всего операция возведения любого мнимого числа в квадрат:

. (2.5)

И более сложные выражения, составленные из мнимых величин, могут сводиться к функциям вещественного аргумента, принимающим вещественное значение. Например, если с учетом (2.5) сложить два бесконечных степенных ряда

,

то получится ряд, состоящий только из вещественных членов, сходящийся к функции 2 cos у:

По мере того как углублялось исследование мнимых чисел и функций от мнимого аргумента, раскрывалась их важная роль в решении коренных теоретических проблем математики, а также прикладных задач. Все настоятельнее пробивало себе дорогу убеждение в противоестественности отношения к мнимому числу как к не реальному, «потустороннему» математическому объекту.

Даже в простейших задачах можно усмотреть признаки того, что мнимое число в органическом единстве с числом вещественным представляет некий аспект более глубокого и совершенного понятия числа.

Рассмотрим проблему существования решений некоторых квадратных уравнений. Если в уравнении

(2.6)

дискриминант отрицателен, то в множестве вещественных чисел R не найдется корней этого уравнения. В общем случае их нет и среди мнимых чисел, а лишь специфическое сочетание вещественных и мнимых чисел позволяет дать выражение корню. Например, применяя формулу решения квадратных уравнений

(2.7)

к уравнению

(2.8)

получим

(2.1.9)

Подставляя любое из этих выражений в уравнение (2.8) и выполняя действия обычным образом с учетом (2.5), придем к верным числовым равенствам:

Таким образом, есть основания считать выражения 2+3i и 2–3i корнями уравнения (2.8), хотя и нелегко понять, что они означают.

Операция сложения применяется в математике для весьма разнообразных классов объектов: вещественных чисел, векторов, матриц, операторов и т.д., но в каждом случае в роли слагаемых и суммы выступают элементы одинаковой природы. Не так получается с корнями уравнения (2.8). По смыслу общей формулы корней квадратного уравнения, каждый корень является суммой двух членов. Но если дискриминант отрицателен, второй член оказывается мнимым числом, тогда как первый член – число вещественное. Непонятно, как можно складывать столь различные объекты и что представляет собой их сумма, не являющаяся ни вещественным, ни мнимым числом. Впрочем, именно эта непонятная сумма и дает ключ к решению проблемы. Во-первых, с ней необходимо считаться, поскольку она выражает корни квадратного уравнения. Во-вторых, она объединяет в себе оба типа чисел – и вещественные, и мнимые. Так, может быть на вещественные и мнимые числа и следует смотреть как на составные части более сложного числового объекта? В отрыве друг от друга каждая из них имеет лишь ограниченное применение, а в едином комплексе они образуют более полноценное понятие числа. Если в таком комплексном числе мнимая составляющая равна нулю, мы воспринимаем число как вещественное, а если нулю равна вещественная составляющая, то мы воспринимаем комплексное число как мнимое. При сложении комплексных чисел отдельно складываются их вещественные компоненты и мнимые. Исторически сложился обычай обозначать мнимую компоненту с помощью множителя . При такой трактовке проблемы мы получаем вместо бессмысленного сложения вещественного числа мнимым сложение двух комплексных чисел (объектов одинаковой природы) и в качестве суммы их – тоже комплексное число:

В записи комплексного числа знак плюс (минус) перед мнимой компонентой отнюдь не означает, что не нужно прибавлять (вычитать) к вещественной компоненте. Просто это собственный знак мнимой компоненты, которая может быть положительной или отрицательной. Чтобы избавиться от иллюзии, будто вещественная и мнимая компоненты комплексного числа складываются, можно записывать их, разделяя точкой с запятой. Заодно можно отказаться и от символического множителя при мнимой компоненте. Достаточным признаком различий вещественной и мнимой составляющих послужит их paс положение в записи комплексного числа – на первом месте вещественная, а на втором мнимая.

(2.10)

Именно такая форма записи принята в современной теории комплексных чисел, хотя в практике вычислений сохраняется и исторически сложившаяся алгебраически форма . Если требуется указать комплексное число как единый объект, не различая в нем вещественную и мнимую компоненты, то пользуются однобуквенным обозначением

(2.11)

Запишем в этих обозначениях правило сложения комплексных чисел:

(2.12)

Когда мы убеждались в том, что комплексные числа и являются корнями квадратного уравнения (2.8), то перемножали комплексные числа (возводили в квадрат) по обычному правилу умножения многочленов с учетом соотношения . В общем виде это выглядит так:

Если же записывать комплексные числа не в алгебраической форме, а в виде упорядоченных пар чисел, то правило умножения примет вид

(2.13)

Это выражение нетрудно запомнить в следующей формулировке: первая компонента произведения равна разности произведений предшествующих членов комплексных сомножителей, записанных рядом, и последующих их членов , а вторая компонента равна сумме произведений внешних членов и внутренних .

Мы описали подход к понятию комплексного числа и арифметическим действиям с комплексными числами в качестве догадки, которая возникает при рассмотрении частной задачи решения квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. В определение комплексных чисел органически включается определение операций над ними: комплексные числа z представляют собой упорядоченные пары вещественных чисел , которые складываются по правилу (2.12) и перемножаются по правилу (2.13). Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С.

Операции вычитания и деления комплексных чисел определяются как обратные операциям сложения и умножения. Разностью чисел и называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет соотношению

Отсюда следует

(2.14)

Частным от деления на , , называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет соотношению . Из этого условия нетрудно найти

(2.15)

Исходя из определения комплексных чисел и операций над ними, убедимся в том, что комплексные числа, у которых вторая компонента равна нулю, ведут себя в операциях так же, как вещественные числа:

Результатами всех этих операций являются комплексные числа, у которых вторая компонента тоже равна нулю. Отбросив ее всюду, мы получим обычные однокомпонентные вещественные числа с привычными операциями над ними. Поэтому комплексное число с нулевой второй компонентой позволительно для краткости называть вещественным числом (понимая условность этого выражения). В множестве комплексных чисел есть такое число, квадрат которого равен вещественному числу -1, т.е. комплексному числу (–1; 0). Согласно правилу умножения (2.13) имеем

(0; 1) (0; 1) = (0 • 0 – 1 • 1; 0 • 1 + 1 • 0) = (-1; 0).

Значит, комплексное число (0; 1) и есть тот математический объект, который скрывался за символом . Всякое комплексное число, у которого равна нулю первая компонента, даст при возведении в квадрат отрицательное вещественное число:

(0; y) (0; y) = (0 • 0-y • y; 0 • у + у • 0) = (-y ²; 0).

Значит, комплексное число (0; у) и есть тот математический объект, который скрывался за символом . Поэтому комплексное число с нулевой первой компонентой позволительно для краткости называть мнимым числом (помня об условности этого выражения). Всякое комплексное число такого типа может быть представлено в виде произведения соответствующего вещественного числа на мнимую единицу:

(y; 0) (0; 1) = (y • 0 – 0 • 1; y • 1 + 0 • 0) = (0; y)=yi.

Наконец, оперирование с комплексными числами подтверждает, что произведение вещественного числа на мнимое есть число мнимое:

(u; 0) (0; y) = (u • 0 – 0 • y; uy + 0 • 0) =

= (0; uy)=u(iy)=i(uy).

Пока математика не осознала роль комплексного числа как более общего и глубокого понятия числа, считалось, что символу не соответствует никакое «настоящее» число, что это число воображаемое, мнимое. Инерция мышления и то обстоятельство, что вплоть до начала XX в. в природе не были обнаружены отношения, требующие для своего выражения комплексных чисел, заставляли относиться к этим объектам как к искусственному математическому ухищрению, способному, как ни странно, приводить к правильным реальным результатам. В наше время общетеоретические представления, использование комплексных чисел для выражения фундаментальных физических законов (в квантовой механике и теории относительности), а также для решения многочисленных прикладных задач убедительно обосновывают реальную полноценность комплексных чисел. В этих условиях термин «мнимое число» можно сохранять как дань исторической традиции, как привычное название определенного подмножества комплексных чисел (с нулевой первой компонентой), но совершенно недопустимо истолковывать его как условное обозначение выдуманного объекта, которому нет места в объективной, реальности. Приведем в этой связи слова известного советского алгебраиста А.Г. Куроша: «…для современной математики, в отличие, например, от математики XVIII в., в понятии комплексного числа нет ничего таинственного, эти числа являются столь же мало «мнимыми», как и числа отрицательные или числа иррациональные» [8].

В связи с тем, что множество С комплексных чисел имеет большую мощность, чем множество R вещественных чисел, и остается замкнутым относительно большего числа операций, в множестве С оказываются определенными такие функции, которые не имеют смысла в множестве R. Прежде всего в множестве С определены корни любой целой степени из всех комплексных (в частности, из вещественных и мнимых) чисел. С этим связан важнейший теоретический результат – так называемая основная теорема алгебры: всякий многочлен степени с любыми числовыми коэффициентами имеет n корней. Если бы это было не так, то множество комплексных чисел нуждалось бы в дальнейшем расширении. В множестве вещественных чисел нет логарифмов отрицательных чисел. В множестве С определены логарифмы и отрицательных (вещественных, и любых комплексных чисел (кроме нуля). Основные элементарные функции – степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические – имеют смысл в множестве комплексных чисел С. Это значит, что аргумент названных функций может быть комплексным числом и сами функции принимают комплексные значения (в частных случаях – вещественные или мнимые).