Дипломная работа

«Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени» (факультатив для старших школьников)

Введение

В материалистической картине мира понятие пространства возникло на основе наблюдения и практического использования объектов, их объема и протяженности.

Понятие времени возникло на основе восприятия человеком смены событии, последовательной смены состояний предметов и круговорота различных процессов.

Естественнонаучные представления о пространстве и времени прошли длинный путь становления и развития. Самые первые из них возникли из очевидного существования в природе и в первую очередь в макромире твердых физических тел, занимающих определенный объем. Здесь основными были обыденные представления о пространстве и времени как о каких-то внешних условиях бытия, в которые помещена материя и которые сохранились бы, если бы даже материя исчезла. Такой взгляд позволил сформулировать концепцию абсолютного пространства и времени, получившую свою наиболее отчетливую формулировку в работе И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» Этот труд более чем на два столетия определил развитие всей естественнонаучной картины мира. В нем были сформулированы основные законы движения и дано определение пространства, времени, места и движения.

Современное понимание пространства и времени было сформулировано в теории относительности А. Эйнштейна, по-новому интерпретировавшей реляционную концепцию пространства и времени и давшей ей естественнонаучное обоснование. Исходным пунктом этой теории стал принцип относительности, классический принцип относительности был сформулирован еще Г. Галилеем.

80 лет назад Герман Минковский предложил геометрическую интерпретацию специальной теории относительности. В наши дни знакомство с теорией относительности стало необходимым элементом общего образования, однако преподавание и понимание этой теории до сих пор затруднено тем, что ее математическое описание находится в противоречии с теми представлениями о пространстве и времени, которые базируются непосредственно на чувственных восприятиях и закрепляются в процессе изучения классической физики. Геометрия мира Минковского остается для неспециалистов труднодоступной абстракцией. Между тем к математическим знаниям, даваемым теперь средней школой и первым курсом вуза, надо добавить не много, чтобы развить представление о псевдоевклидовом пространстве. Прежде всего, требуется понятие абстрактного линейного пространства и его разновидности – евклидова пространства, умение различать линейные и метрические свойства пространства. Эти понятия являются исходными для построения геометрической теории. Без достаточно свободного владения ими и связанным с ними алгебраическим аппаратом нельзя преодолеть привязанность к привычной наглядности образов и проникнуть в мир форм, скрытых от непосредственного зрительного восприятия.

1. Геометрические представления Галилея

Исходным пунктом теории описания пространства стал принцип относительности, классический принцип относительности был сформулирован еще Г. Галилеем: во всех инерциальных системах отсчета движение тел происходит по одинаковым законам. Инерциальными называются системы отсчета, движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно.

Галилей разъяснял это положение различными наглядными примерами. Представим путешественника в закрытой каюте спокойно плывущего корабля. Он не замечает никаких признаков движения. Если в каюте летают мухи, они отнюдь не скапливаются у задней ее стенки, а спокойно летают по всему объему. Если подбросить мячик прямо вверх, он упадет прямо вниз, а не отстанет от корабля, не упадет ближе к корме.

Из принципа относительности следует, что между покоем и движением – если оно равномерно и прямолинейно – нет никакой принципиальной разницы. Разница только в точке зрения.

Например, путешественник в каюте корабля с полным основанием считает, что книга, лежащая на его столе, покоится. Но человек на берегу видит, что корабль плывет, и он имеет все основания считать, что книга движется и притом с той же скоростью, что и корабль. Так движется на самом деле книга или покоится?

На этот вопрос, очевидно, нельзя ответить просто «да» или «нет» Спор между путешественником и человеком на берегу был бы пустой тратой времени, если бы каждый из них отстаивал только свою точку зрения и отрицал точку зрения партнера. Они оба правы, и чтобы согласовать позиции, им нужно только признать, что книга покоится относительно корабля и движется относительно берега вместе с кораблем.

Таким образом, слово «относительность» в название принципа Галилея не скрывает в себе ничего особенного. Оно не имеет никакого иного смысла, кроме того, который мы вкладываем в утверждение о том, что движение или покой – всегда движение или покой относительно чего-то, что служит нам системой отсчета. Это, конечно, не означает, что между покоем и равномерным движением нет никакой разницы. Но понятия покоя и движения приобретают смысл лишь тогда, когда указана точка отсчета.

Если классический принцип относительности утверждал инвариантность законов механики во всех инерциальных системах отсчета, то в специальной теории относительности данный принцип был распространен также на законы электродинамики, а общая теория относительности утверждала инвариантность законов природы в любых системах отсчета, как инерциальных, и неинерциальных. Неинерциальными называются системы отсчета, движущиеся с замедлением или ускорением.

В соответствии со специальной теорией относительности, которая объединяет пространство и время в единый четырехмерный пространственно-временной континуум, пространственно-временные свойства тел зависят от скорости их движения. Пространственные размеры сокращаются в направлении движения при приближении скорости тела к скорости света в вакууме (300 000 км/с), временные процессы замедляются в быстродвижущихся системах, масса тела увеличивается.

Находясь в сопутствующей системе отсчета, то есть, двигаясь параллельно и на одинаковом расстоянии от измеряемой системы, нельзя заметить эти эффекты, которые называются релятивистскими, так как все используемые при измерениях пространственные масштабы и часы будут меняться точно таким же образом. Согласно принципу относительности, все процессы в инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Но если система является неинерциальной, то релятивистские эффекты можно заметить и измерить. Так, если воображаемый релятивистский корабль типа фотонной ракеты отправится к далеким звездам, то после возвращения его на Землю времени в системе корабля пройдет существенно меньше, чем на Земле, и эта различие будет больше, чем дальше совершается полет, а скорость корабля будет ближе к скорости света. Разница может измеряться даже сотнями и тысячами лет, в результате чего экипаж корабля сразу перенесется в близкое или более отдаленное будущее, минуя промежуточное время, поскольку ракета вместе с экипажем выпала из хода развития на Земле.

Подобные процессы замедления хода времени в зависимости от скорости движения реально регистрируются сейчас в измерениях длины пробега мезонов, возникающих при столкновении частиц первичного космического излучения с ядрами атомов на Земле.

Итак, специальная теория относительности базируется на расширенном принципе относительности Галилея. Кроме того, она использует еще одно новое положение: скорость распространения света (в пустоте) одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Абсолютность скорости света не противоречит принципу относительности и полностью совместима с ним. Постоянство этой скорости " закон природы, а потому – именно в соответствии с принципом относительности – он справедлив во всех инерциальных системах отсчета.

Скорость света это верхний предел для скорости перемещения любых тел природы, для скорости распространения любых волн, любых сигналов. Она максимальна – это абсолютный рекорд скорости. Поэтому часто говорят, что скорость света – предельная скорость передачи информации. И предельная скорость любых физических взаимодействий, да и вообще всех мыслимых взаимодействий в мире.

Со скоростью света тесно связано решение проблемы одновременности, которая тоже оказывается относительной, то есть зависящей от точки зрения. В классической механике, которая считала время абсолютным, абсолютной является и одновременность.

В общей теории относительности были раскрыты новые стороны зависимости пространственно-временных отношений от материальных процессов. Эта теория подвела физические основания под неевклидовы геометрии и связала кривизну пространства и отступление его метрики от евклидовой с действием гравитационных полей, создаваемых массами тел. Общая теория относительности исходит из принципа эквивалентности инерционной и гравитационной масс, количественное равенство которых давно было установлено в классической физике. Кинематические эффекты, возникающие под действием гравитационных сил, эквивалентны эффектам, возникающим под действием ускорения. Так, если ракета взлетает с ускорением 2g, то экипаж ракеты будет чувствовать себя так, как будто он находится в удвоенном поле тяжести Земли. Именно на основе принципа эквивалентности масс был обобщен принцип относительности, утверждающий в общей теории относительности инвариантность законов природы в любых системах отсчета, как инерциальных, так и неинерциальных.

2. Геометрия Минковского как описание пространства – времени

Открытиями Коперника, Галилея, Кеплера, Ньютона заложен фундамент стройного естественнонаучного мировоззрения, которое позволило глубоко проникнуть в сущность вещей. Но на определенном этапе развития физической теории и точного эксперимента стали обнаруживаться расхождения между ними, свидетельствующие о наличии принципиальных недостатков в исходных теоретических предпосылках. Первоначально осознание этих недостатков и внесение поправок в теорию выразилось в постулатах, обобщающих новые экспериментальные факты. Из постулатов Эйнштейна развилась теория относительности, из постулатов Бора – квантовая теория – два главных направления революции в физике XX в. Эта научная революция, подобно коперниканской, внесла радикальные изменения в наши представления об устройстве мира.

Альберт Эйнштейн постулировал в качестве исходных истин такие утверждения, которые противоречили принципам классической физики, но не противоречили экспериментальным данным, и стал выяснять, какие поправки к классическим воззрениям вытекают логически из его постулатов. В первоначальной формулировке постулаты Эйнштейна гласят:

1. Законы, по которым изменяются состояния систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эти изменения состояния относятся.

2. Каждый луч света движется в «покоящейся» системе координат с определенной скоростью V, независимо от того, испускается ли этот луч света покоящимся или движущимся телом» [19].

Из этих постулатов Эйнштейн сделал вывод, что длительность промежутка времени между двумя событиями и величина расстояния между двумя точками пространства должны быть разными в разных инерциальных системах координат, движущихся относительно друг друга. Парадоксальный вывод о непостоянстве пространства и времени (а вслед за ними и массы), считавшихся в классической физике фундаментальными абсолютными характеристиками мира, явился самой яркой чертой новой теории, что отразилось в закрепившемся за ней названии – теория относительности. До самого конца XIX в. в науке сохранялось убеждение в том, что мировое пространство в своей сущности таково, каким мы его воспринимаем посредством наших органов чувств. Самые характерные черты чувственно воспринимаемого пространства заключаются в том, что оно имеет три измерения и описывается геометрической теорией Евклида. По современной терминологии оно так и называется: трехмерное собственно евклидово пространство. Но если мировое пространство действительно таково, то расстояния между его точками (размеры и формы тел) должны быть инвариантными, не зависящими от выбора системы отсчета. Герман Минковский понял, что чувственно воспринимаемое пространство – это только внешняя видимость, форма проявления иных геометрических свойств реального мирового пространства. «Воззрения на пространство и время, которые я намерен перед вами развить, возникли на экспериментально-физической основе. В этом их сила. Их тенденция радикальна. Отныне пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в фикции и лишь некоторый вид соединения обоих должен еще сохранить самостоятельность», – так начал Минковский свой доклад на 80-м собрании немецких естествоиспытателей и врачей в Кельне 21 сентября 1908 г. [9].

Как во времена Коперника трудно было принять вопреки внешней очевидности гелиоцентрическую систему мира, так в наше время нелегко понять и представить себе мир в пространстве, отличном от чувственно воспринимаемого. Для преодоления этого затруднения тоже необходимы познания из области геометрии, но более глубокие. Но было бы неправильно думать, что понимание геометрии мира Минковского доступно только специалистам с высшим физико-математическим образованием. В наши дни расширение и дифференциация научных знаний сопровождается обобщениями, вскрытием немногих глубочайших понятий и связей между ними, позволяющих строить точное и лаконичное изложение теории. Развитие геометрии в этом направлении идет по пути ее алгебраизации.

Глубина аксиоматических построений, используемых в линейной алгебре, позволяет не только упростить изложение известных геометрических истин, но и открывает новые возможности геометрических представлений. Если мы сможем выразить в немногих математических понятиях и соотношениях все существенные свойства чувственно воспринимаемого пространства, то поймем, как оно устроено, или, грубо говоря, каковы его основные «исходные компоненты». Тогда станет видно, как эти «компоненты» могут сочетаться в иных комбинациях, образуя иные типы пространств.

2.1 Основные понятия описания пространства-времени

2.1.1 Геометрические векторы и линейные операции над ними

Для математического описания пространства удобно пользоваться векторами. Этот объект достаточно прост и нагляден в чувственно воспринимаемом пространстве (где его называют геометрическим вектором) и вместе с тем пригоден для далеко идущих обобщений. Геометрическим вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, для которого указано, какая из его граничных точек является началом и какая концом [6].