Министерство образования и науки Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Дипломная работа

Метризуемость топологических пространств

Выполнила

студентка 5 курса

математического факультета

Побединская Татьяна Викторовна

_______________________________

(подпись)

Научный руководитель

к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна

_______________________________

(подпись)

Рецензент

_______________________________

(подпись)

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.

(подпись)

«_____» _______________2004 г.

Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.

(подпись)

«_____» _______________2004 г.

КИРОВ

2004

Содержание

Введение 3

Глава I. Основные понятия и теоремы 4

Глава II. Свойства метризуемых пространств 10

Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств 21

Библиографический список 24

Введение

Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».

В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.

Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:

1. Метризуемое пространство хаусдорфово.

2. Метризуемое пространство нормально.

3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.

4. Метризуемое пространство совершенно нормально.

5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:

1) сепарабельно,

2) имеет счетную базу,

3) финально компактно.

6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.

Глава I. Основные понятия и теоремы

Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых и из и удовлетворяющей трем условиям:

1. (аксиома тождества);

2. (аксиома симметрии);

3. (аксиома треугольника).

Определение. Пусть – некоторое множество. Топологией в называется любая система его подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям:

1. Само множество и пустое множество принадлежат .

2. Объединение любого (конечного или бесконечного) и пересечение любого конечного числа множеств из принадлежат .

Множество с заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.

Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства .

Определение. Совокупность открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из .

Теорема 1. Всякая база в топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами:

1. любая точка содержится хотя бы в одном ;

2. если содержится в пересечении двух множеств и из , то существует такое , что .

Определение. Открытым шаром или окрестностью точки радиуса в метрическом пространстве называется совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом – центр шара, – радиус шара.

Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в -окрестность точки .

Доказательство. Выберем в качестве : .

Достаточно доказать для произвольного импликацию . Действительно, если , то

Получаем, что , что и требовалось доказать.

Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.

Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).

• Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется для любого .

• Проверим второе свойство.

Пусть , и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что Теорема доказана.

Определение. Топологическое пространство метризуемо, если существует такая метрика на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .

Аксиомы отделимости

Аксиома . Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.

Аксиома . Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.

Предложение. является - пространством тогда и только тогда, когда для любого множество замкнуто.

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Так как является -пространством, то существует окрестность , не содержащая .

Рассмотрим

Докажем, что . Применим метод двойного включения:

• Очевидно, что по построению множества .

• .

Пусть отсюда для любого отличного от существует окрестность , значит , тогда .

Множество - открыто, как объединение открытых множеств.

Тогда множество - замкнуто, как дополнение открытого множества.

Достаточность. Рассмотрим . По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку

Что и требовалось доказать.

Аксиома ( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.

Аксиома . Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.

Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам ( ) называются -пространствами ( -пространства называют также хаусдорфовыми пространствами).

Определение. Пространство называется нормальным или -пространством, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.

Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки , если для любой окрестности точки найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в .

Определение. Если точка топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.

Определение. Две метрики и на множестве называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.

Пример. На плоскости для точек и определим расстояние тремя различными способами:

1. ,

2. ,

3. .

• Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.

1. 1)

2) так как и , то вторая аксиома очевидна:

3) рассмотрим точки , , и докажем следующее неравенство:

Возведем это неравенство в квадрат:

.

Так как и (поскольку ) и выражение есть величина неотрицательная, то неравенство является верным.

2. 1)

2) так как и , то вторая аксиома очевидна: .

3) рассмотрим точки , , и докажем следующее неравенство: .

Тогда и .

3. 1)

2) так как и , то вторая аксиома очевидна:

.

3) рассмотрим точки , , .

Неравенство: - очевидно.

• Введенные метрики и эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

Пусть метрика порождает топологию , - топологию и - топологию . Достаточно показать два равенства.

Покажем, что .

Рассмотрим множество, открытое в и покажем, что открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в .

Аналогично доказывается, что . А тогда и .

Глава II. Свойства метризуемых пространств

Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.

Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что .

Предположим, что , тогда существует , т.е. и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .