85901 (Метризуемость топологических пространств), страница 3
Описание файла
Документ из архива "Метризуемость топологических пространств", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85901"
Текст 3 страницы из документа "85901"
Так как множество открыто в топологии произведении, то для некоторого множества , где - открыто в и для любого и для всех индексов кроме конечного их числа. Поскольку и открыто в , то для конечного числа индексов, для которых . Пусть - наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда для любого . Это означает, что для любого . Получили . Следовательно, множество открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана.
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств
1. Дискретное топологическое пространство.
- произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим Для любого множество открыто, так как . Следовательно, открыто и любое подмножество в как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство – метризуемо.
2. Двоеточия.
. Рассмотрим топологии на .
1) - простое двоеточие.
2) - связное двоеточие.
3) - слипшееся двоеточие.
- метризуемо, так как топология - дискретная.
, - неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми.
3. Стрелка ( ).
В открытыми назовем и множества вида , где . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо.
4. Окружности Александрова (пространство ).
Открытые множества в :
первого рода: интервал на малой окружности плюс его проекция на большую окружность , из которой выброшено конечное число точек.
в торого рода: каждая точка на большой окружности открыта.
1. Множество замкнуто в тогда и только тогда, когда - конечно.
Доказательство. Очевидно, что любое конечное множество замкнуто как дополнение открытого. Пусть и - бесконечно. Докажем, что - незамкнуто.
Так как - бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в , по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как замкнуто в , то предел этой последовательности . Пусть - точка, для которой является проекцией на . Возьмем произвольное открытое в множество , содержащее точку . Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что содержит бесконечно много точек множества , т.е. является предельной точкой множества . При этом . Следовательно, - незамкнуто.
2. Множество не совершенно нормально.
Доказательство. Пусть дуга . Множество открыто, как объединение открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в являются по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно открыто и не является множеством типа . Таким образом множество неметризуемо.
Библиографический список
1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.
2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Наука, 1989.