85901 (589894), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Следствие. Метризуемое пространство является - пространством.

Определение. Расстоянием от точки до множества в метрическом пространстве называется .

Утверждение 2. Пусть множество фиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точке расстояние , непрерывна на пространстве .

Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция называется непрерывной в точке , если .

Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .

Для произвольного возьмем . Тогда из неравенства следует . Непрерывность доказана.

Лемма. – замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любого расстояние от до множества положительно.

Доказательство.

Множество замкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точка принадлежит открытому множеству , то существует такое , что . Так как , то для некоторого . Поэтому для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.

Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является

-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и имеют непересекающиеся окрестности.

Так как и множество замкнуто по условию, то для любого по лемме .

Обозначим и для произвольных и .

Множества и открыты как объединения открытых шаров в и содержат соответственно множества и .

Следовательно, - окрестность множества , - окрестность множества .

Докажем, что .

Предположим, что , то есть . Тогда из условия следует, что для некоторого . Отсюда .

Аналогично получаем для некоторого . Для определенности пусть . Тогда .

Получаем , для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.

Следовательно . Таким образом, является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.

Свойство 3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.

Доказательство. Пусть - произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым открытым шаром, то есть для некоторых и . По утверждению 1 найдется такое , что .

Возьмем , для которого . Тогда . Таким образом открытые шары , образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.

Определение. Множеством типа или просто - множеством пространства называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.

Определение. Множеством типа или просто - множеством пространства называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств.

Очевидно, что множества типа и являются взаимно дополнительными друг для друга.

Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа , называется совершенно нормальным.

Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .

Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально.

Доказательство. Пусть - непустое замкнутое множество в . Тогда для непрерывной функции (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества открыты в как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .

Пусть , тогда . Так как для любого , то для любого . Отсюда .

Обратно. Пусть , тогда для любого . Отсюда для любого , поэтому для любого , тогда , значит . Таким образом множество является множеством типа .

Определение. Множество всюду плотно в , если любое непустое открытое в множество содержит точки из .

Определение. Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.

Определение. Семейство γ открытых в множеств образуют покрытие пространства , если содержится в объединении множеств этого семейства.

Определение. Топологическое пространство называется финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.

Свойство 5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:

1) сепарабельно,

2) имеет счетную базу,

3) финально компактно.

Доказательство.

Пусть - счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей счетно. Докажем, что - база топологии в . Пусть - произвольное открытое в множество, . Тогда для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого и точку , для которой .

Докажем, что . Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного и открытого множества нашелся элемент из , такой, что . Следовательно - база топологии.

Пусть - счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества , - открыты для любого ( - индексное множество). Для любого существует , для которого . Так как - база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база счетна, то покрывается счетным числом соответствующих множеств . Таким образом, - финально компактно.

Для каждой точки рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогда для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество в содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.

Определение. Диаметром непустого множества в метрическом пространстве называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества и обозначается .

.

Если , то множество называют неограниченным.

Определение. Метрика метрического пространства называется ограниченной, если .

Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

Доказательство. Пусть метрика порождает топологию топологического пространства . Положим для любых .

Докажем следующее:

1. -метрика на ;

2. метрики и эквивалентны;

3. .

1. Проверим выполнимость аксиом.

1) ;

2) ;

: Докажем, что .

Известно, что .

• Если и , то и , тогда . Так как , то .

• Если или , то , а , тогда .

2. Пусть - топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .

Пусть - открытое множество в , докажем, что множество открыто в . Для любого существует такое, что . Можно считать, что . Тогда является окрестностью в того же радиуса . Следовательно, открыто в топологии .

В обратную сторону доказательство проводится аналогично.

Из всего выше сказанного следует, что метрики и эквивалентны.

3. Из формулы следует, что для любых . Отсюда .

Определение. - топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где открыто в для любого и для всех индексов кроме конечного их числа.

Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

Доказательство. Пусть - метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве существует ограниченная метрика соответственно.

Рассмотрим .

Покажем:

1. является метрикой на и .

2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств .

1. Проверим выполнимость аксиом метрики.

1) (так как - метрика по условию).

2) , .

Так как ( -метрика по условию), то , тогда .

3) Докажем, что .

, , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство:

, тогда .

Теперь докажем, что .

, где геометрическая прогрессия, а , тогда .

2. 1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения.

Рассмотрим произвольную точку . Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное число и открытые множества , такие, что .

Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию:

.

Для положим и для .

Для каждой точки . Рассмотрим полученные суммы. Так как , где , то . Так как для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество открыто в тихоновской топологии произведения.

2) Пусть множество открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой .

Требуется доказать, что для любой точки найдется такое , что .

Характеристики

Список файлов ВКР