85797 (Расширение кольца с помощью полутела)
Описание файла
Документ из архива "Расширение кольца с помощью полутела", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85797"
Текст из документа "85797"
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Расширение кольца с помощью полутела
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Лукин Михаил Александрович
_____________________
Научный руководитель:
д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии
Вечтомов Евгений Михайлович
_____________________
Рецензент:
к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии
Чермных Василий Владимирович
_____________________
Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина
К иров – 2005
Содержание
Введение 3
§1. Допустимые кольца и решетки 6
§2. Допустимые полутела 10
§3. О единственности расширения 12
Заключение 14
Библиографический список 15
Введение
Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.
Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0-1 расширения).
В работе исследуется следующий вопрос. Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L?
Полукольцом называется такая алгебраическая структура S; +, , 0, что S; +, 0 - коммутативный моноид с нулем 0, S, - полугруппа и в S выполняются тождества a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc и a0=0a=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру S; +, , которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом. Полукольцо с квазитождеством a+b=0 a=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a+a=a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a+b=a+c b=c называется сократимым.
Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция , что K[0] - изоморфно нулевому ядру - и S/T. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K, возможно без нуля, с помощью полукольца T, если на S существует конгруэнция , для которой K[1] - изоморфно единичному ядру - и S/T. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).
Для произвольного полукольца S обозначим через R(S) множество всех аддитивно обратимых элементов в S, а через U(S) – множество всех обратимых элементов в S в случае, когда S обладает 1. Очевидно, что R(S) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. a+bR(S) a, bR(S)).
Пусть S/R(S) – фактор-полукольцо полукольца S по конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R(S): s конгруэнтно t s+a=t+b для некоторых a, bR(S). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp-полукольцом [2]. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a+1, aS, обратимы, а его регулярность означает разрешимость в S каждого уравнения axa=a.
Справедливы следующие утверждения.
1. Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R(S), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]
2. Полукольцо S с 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал R(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S [1].
3. Полукольцо S служит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал R(S) полульца S простой (т.е. abR(S) влечет aR(S) или bR(S)).
4. Для полукольца S с 1 фактор-полукольцо S/R(S) является полутелом с нулем тогда и только, когда R(S) есть максимальный односторонний идеал в S.
В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в [3].
5. Для существования 1-расширения полукольца K, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца T необходимо и достаточно, чтобы K имело 1, а T было идемпотентным полукольцом с 1.
6. Любое arp-полукольцо S является 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/, где - конгруэнция на S, такая, что ab означает aU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См. [2].
7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [4].
Полукольцо S с 1 назовем 0-1-расширением полукольца K и полукольца без нуля L с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция , что [0]ρK, [1]L и S/T.
Пусть для кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0-1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L. Соответствующую тройку <R ,P ,L> будем называть допустимой.
§1. Допустимые кольца и решётки
Речь в главе пойдёт о решётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.
Обозначим через D двухэлементную цепь.
Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией , для которой [0]R, [1]P, F/D. Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольца R и полутела P, и обозначим P R. Ясно, что pP,rR,prR,p+rP.
С другой стороны, если любой элемент полукольца S с 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то S будет дизъюнктным объединением кольца R(S) и полутела U(S). При этом разбиение {R(S), U(S)} индуцирует искомую конгруэнцию на S.
Предложение. В U R справедливы следующие утверждения а) аддитивная группа R делимая абелева группа. б) результат умножения определён единственным образом.
Доказательство. а) Пусть , тогда , ч.т.д.
б) Пусть мультипликативная операция задана. Если , то . Умножив равенство на справа, получим , значит . Рассмотрим результат умножения , пусть . Тогда , поэтому есть элемент, складывая который раз получим . Из ранее доказанного следует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство. есть решение уравнения в кольце .
Теорема 1. Для произвольного кольца R эквивалентны следующие условия:
-
существует допустимая тройка R, U, L, где L – любая дистрибутивная решетка с 10;
-
существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца R и полутела U;
-
R – радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая группа без кручения.
Доказательство.
12. Для данной тройки рассмотрим подходящие полукольцо S и конгруэнцию . Поскольку D - подрешетка дистрибутивной решетки L с 0 и 1, в качестве дизъюнктного объединения можно взять подполукольцо [1][0] в S.
21. Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом I, более того L\I - дуальный идеал.
Поэтому в качестве полукольца S можно взять множество пар (i,r),iI,rR(l,p),lL/I,pP с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, как аксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F, [0]R, [1]P, F/L2. Если в качестве конгруэнции выбрать отношение равенства первых координат, то [0]R, [1]P, S/L2, что завершает доказательство.
Лемма. Пусть в кольце R r r tR,(r+rr+r)t=0,(r+rr+r)t=0, тогда r r ,r+rr+r=0r+rr+r=0.
Доказательство. Пусть выполнено условие леммы, тогда, положим r=-r-rr. Имеем
r+rr+r = r+(- r - rr)r - r - rr = (r+rr+r)(-r)=0
r+rr+r = r+r (- r - rr) - r - rr = (r+rr+r)(-r)=0.
Кольцо R называется радикальным по Джекобсону, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см., например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» rs = r+s+rs в R является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента r существует единственный элемент s, такой, что r+s+rs=0.
2)3). P содержит Q+, иначе 1+1=1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r, имеем r+r=rr=0 – противоречие. Таким образом, R – полумодуль над Q+ и, значит, модуль над Q. Поэтому <R,+> - делимая абелева группа без кручения (подробно см. также предложение).
Множество T= Q++R является подполутелом в U, поскольку
q1+r1+q2+r2 = (q1+q2)+(r1+r2);
(q1+r1)(q2+r2) = (q1q2+q1r2+r1q2+r1r2) = q1q2+(q1r2+r1q2+r1r2);
t=q+r1=qt -1+rt -1t -1=q -1- q -1r t -1 Q+ + R.
Следовательно, для любого элемента 1+r,rR найдётся, 1+r,rR что (1+r)(1+r) = (1+r)(1+r) = 1. Из дистрибутивности следует, что 1+r+rr+r = 1+r+rr+r = 1. Умножая последнее равенство на любое tR, имеем (r+rr+r)t=0(r+rr+r)t=0, значит, в виду леммы, R радикально по Джекобсону.