85797 (Расширение кольца с помощью полутела), страница 2

3)2). Поскольку R радикально по Джекобсону, алгебра Q⁺R с операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂)

является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S(Q⁺{0})R с теми же операциями совпадает с (Q⁺R) ({0}R) = (Q⁺R) R.

Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.

Ещё одним частным случаем является нильпотентное кольцо R, порождённое одним элементом .

Пусть - образующий. Поскольку в качестве элементов R выступают p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1, p_iQ, n - наименьшая нулевая степень , T  R - в точности совпадает с одним из двух полуколец.

(q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^n-1,p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1)qQ⁺,q_i,p_iQ или

(q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^n-2,p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1)qQ⁺,q_i,p_iQ

c операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) =  (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂).

2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R(0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. a(0), a+x+ax = 0x = (-a)/(1+a)(0)

Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q[x]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^l,p₁ + p₂² + … + p_n-1^m)qQ⁺,q_i,p_i

Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всё множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).

Этот пример легко обобщается для многочленов от произвольного множества переменных.

§2. Допустимые полутела

Дальнейший ряд предложений направлен на отыскание всевозможных полутел P , что P R.

Замечания. 1. Пусть дано допустимое кольцо R, тогда множество элементов M = {mR, rR|r∙m = m∙r =0} образует в нём подкольцо.

2. Множество элементов E = {R,1+=1} образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.

3. Множество Q⁺×(R/I) является полутелом с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂), где I - произвольный идеал с делимой аддитивной группой кольца R.

Теорема 2. Пусть R, U, D - допустимая тройка и R ненулевое. Тогда множество Q⁺+R есть подполутело U, изоморфное ((R/I)Q⁺), где I некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм полутела U в кольцо R-модульных эндоморфизмов End _RR, образ которого содержит Q⁺. Если правый аннулятор кольца R нулевой, то полутело Im содержит подполутело, изоморфное ((R/I)Q⁺).

Доказательство. Пусть T, R - из допустимой тройки. Любой элемент T представим в виде q+r,qQ⁺,rR. Два элемента q+r₁ и q+r₂ равны тогда и только тогда, когда 1+r₁-r₂=1. С другой стороны, если 1+r = 1, то 1+r₁+r=1+r₁. Поэтому все элементы вида q+r+, 1+=1 сливаются в классы q×(R/I), где I - множество всех .

Отображение _u: RuR, uU ввиду дистрибутивности и ассоциативности в U R является R – модульным эндоморфизмом. Пусть _u+_v:R(u+v)R и _uv:RuvR, тогда отображение : U End _RR, сопоставляющее каждому элементу uU эндоморфизм _u - канонический гомоморфизм.

Пусть правый аннулятор R нулевой, тогда для двух элементов q₁+r₁, q₂+r₂, считая без ограничения общности, q₁=q₂+q₃ (q₃ может равняться нулю), r, (q₁+r₁)r=(q₂+r₂)r(q₃+r₁-r₂)r=0q₃=0,r₁=r₂. Элементы q₁+r₁ и q₂+r₂ одинаково действуют на R только в случае равенства. Поэтому - мономорфизм и Im содержит подполутело, изоморфное ((R/I)Q⁺).

Замечание. Система (Q⁺×(R/I))({0}×R) с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂) и произвольным идеалом аннулятора с делимой аддитивной группой I является дизъюнктным объединением. Сложение класса (R/I) с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца.

§3. О единственности расширения

При изучении структуры дизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности U R для данных U и R. Ниже приведём пример существования несовпадающих дизъюнктных объединений при заданных U и R.

Пусть для данных полутела U и кольца R существует коммутативное U R и пусть tR не лежит в AnnR, но trAnnRrR (примером такого дизъюнктного объединения с элементом t служит

(q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^n-1,p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1)qQ⁺,q_i,p_iQ из примера 1).

Определим новые операции на UR следующим образом: Умножение оставим неизменным, а сложение элементов rR и uU сложение зададим законом ur=u+r+rt. Поскольку операции внутри полутела и кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов:

1. Ассоциативность сложения:

(u₁u₂)r=u₁(u₂r)u₁+u₂+r+rt= u₁+u₂+r+rt

(ur₁)r₂=u(r₁r₂)u+r₁+r₁t+r₂+r₂t=u+r₁+r₂+(r₁+r₂)t.

2. Дистрибутивность:

u₁(ru₂)=u₁ru₁u₂u₁(r+u₂+rt)=u₁u₂+u₁r+u₁rt

r₁(ur₂)=r₁ur₁r₂r₁u+r₁r₂+r₁r₂t=r₁u+r₁r₂.

Таким образом, UR с новыми операциями является дизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны между собой, поскольку существует изоморфизм f:uuuU:

r(1+t)^-1rrR. Причём f_t :r(1+t)^-1rrR – автоморфизм R.

Доказательство. Имеем f_t – автоморфизм R, поскольку для каждого элемента r имеется свой праобраз (1+t)r. И выполняются тождества

r₁,r₂, f_t(r₁+r₂)=(1+t)^-1(r₁+r₂)= (1+t)^-1r₁+(1+t)^-1r₂=f_t(r₁)+ f_t(r₂)

r₁,r₂,(1+t)^-1(r₁∙r₂)=(1+t)^-1(1+t)^-1(r₁∙r₂),

поскольку (1+t)r₁r₂=r₁r₂. Поэтому в виду коммутативности полукольца f_t(r₁∙r₂)= f_t(r₁)f_t (r₂).

Поскольку при отображении f кольцо и полутело автоморфно переходят в себя, изоморфизм полуколец вытекает из следующих тождеств:

uU, rR f(u+r)=u+r= u+r+(1+t)^-1r f(u)f(r)

uU, rR f(ur)=(1+t)^-1ur=u(1+t)^-1r=f(u) f(r).

Вопрос о том, единственным ли является дизъюнктное объединение с точностью до изоморфизма остаётся открытым.

Заключение

В дипломной работе представлено описание 0-1-расширений кольца R и полутела U с помощью решетки L. Установлены, следующие факты:

существование 0-1-расширения не зависит от строения дистрибутивной решётки L (теорема 1);

кольцо R состоит в какой либо допустимой тройке тогда и только тогда, когда оно радикально по Джекобсону (теорема 1);

строение полутела U существенно зависит от строения R (теорема 2).

Не решённым остаётся вопрос о единственности с точностью до изоморфизма U R. В работе устанавливается взаимосвязь между значимыми математическими структурами - кольцами и полутелами. Подобные взаимосвязи могут существовать и между другими объектами алгебры, существенным может оказаться изучение и обобщение таких взаимосвязей.

Библиографический список

1. Вечтомов Е.М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули: сб. статей / Под ред. А.В. Михалева. Вып. 15. –Томск: ТГУ, 2000. – С. 17-23.

2. Вечтомов Е.М., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево-регурярные положительные полукольца // Труды семинара им. И.Г. Петровского. – 2000. – Т 20. – С. 282-309.

3. Golan J.S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science // Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. – 1992. – S. 93-98.

4. Семенов А.Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. – 2003. – № 8. – С. 105-107.

5. Херстейн И. Некоммутативные кольца. – М.: Мир, 1972. – 200 с.

16