84823 (* Алгебры и их применение), страница 5

р (Р) = {0, 1}, где

р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y, х, y Н, λ

С. Тогда (1 - λ) Рх = Рy . Если λ ≠ 1, то Рх =

Рy. Если х ≠ 1, то х =

(

Рy - y), тогда

(Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх ≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1

р (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0

р (Р). Итак,

(Р) =

р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк – область значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем (А).

1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0

(А).

2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х Н2 = Н Ах = х, то есть 1

(А).

3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х Н1 = Н Ах = х.

4) Р1 = Р2 = I, то для любого х Н1 = Н2 = Н Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2

(А).

Таким образом, если dimH =1, то (А)

{0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0

(А).

2) х Н0,1 или х

Н1,0 , тогда Ах = х и 1

(А).

3) х Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j Нk,l = H. В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АL L. Пусть х L, тогда Рkх = λкх (k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны случаи:

λ1 = 0, λ2 = 0;

λ1 = 0, λ2 = 1;

λ1 = 1, λ2 = 0;

λ1 = 1, λ2 = 1;

Но это означает, что k,l = 0,1 такие, что Нk,l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р1 = , Р2 τ (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 + bР2, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 + bР2 – λI) = 0.

(1.1.)

Тогда , (1.2)

Положим a = 1, b =1, ε = , тогда λ1 = 1+ε , λ2 = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.

Тогда (А) {0, 1, 2} {1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =К L, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть λ (А), тогда Ах = λх =λk +λl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0, Н1=Н0,1 Н1,0, Н2=Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφк φк (0, ), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Нφк (к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк, 1-εк входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Нφк = Н1+εк Н1-εк , причем dimН1+εк = dimН1-εк = 1 (1.3)

Если φк ≠ φi, то εк ≠ εi (так как εк = =cosφк и φк (0, )). Объединим все Нφк , у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, и обозначим его через Нφк. При этом, если dimНφк = 2qk, то есть Нφк состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφк = Н1+εк Н1-εк , dimН1+εк = dimН1-εк = qk.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда

(А) {0, 1, 2} ( {1+ε , 1-ε}), 0<εк<1,

причем dimН1+εк = dimН1-εк к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:

(А) {0, 1, 2} ( {1+ε , 1-ε}), где 0<εк<1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН1+εк = dimН1-εк . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н(0) Н(1) Н(2) ( (С2 Нк)) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н(0) Н(1) Н(2) ( (С2 (Н1+εк Н1-εк ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом

P1 = PН2 ( ( Iк )) (1.6.)

Р2 = PН1 PН2 ( Iк )) (1.7.)

где PНк – ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is – единичный оператор в Hs s=1,…, m. Но тогда

Р1 + Р2 = PН1 PН2 ( Iк )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ1 + λ2 = a + b. Пусть λ2 = ε, тогда λ1 = a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a - b)2 + 4abτ > 0.

Тогда ε = > = 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a ≤

≤ b – a

(b - a)2 +4abτ ≤ (b – a)2

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

λ 1 = ε

λ2 = a + b – ε. (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 + bР2, 0

(А) {0, a, b, a + b} ( {εк , a + b - εк}), 0<εк<1, и

dimНεк = dimНa+b-εк (Нεк , Нa+b-εк - собственные подпространства оператора А, отвечающие εк) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2, 0 (А).

1) х Н0,0, то Ах = 0 и 0 (А);

2) х Н0,1 , то Ах = bx и b (А);

3) х Н1,0 , то Ах = ax и a (А);

4) х Н1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b (А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b} ( {εк , a + b - εк}), где 0<εк<1, к=1,…m. Причем числа εк, a + b - εк входят одновременно в спектр А, и соответству- ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк также инвариантна относительно А и dimНεк = dimНa+b-εк = qk. (с учетом кратности εк)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н(0) Н(a) Н(b) Н(a+b) ( (С2 Нк)) (1.9.)

Где Н(0)=Н0,0 , Н(a) =Н1,0 , Н(b)=Н0,1 , Н(a+b)=Н1,1 или

Н = Н(0) Н(a) Н(b) Н(a+b) ( (Нεк Нa+b-εк) (1.10.)

Положим

P1 = Pa Pa+b ( ( Iк )) (1.11.)

Р2 = Pb Pa+b ( Iк )) (1.12.)

Но тогда

aР1 + bР2 = aPa bPb (а+b)Pa+b (a ( Iк ))

(b Iк )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b} ( {εк , a + b - εк}), (0<εк<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н0 Н1 Н2 ( (С2 L2((0, ), dρк))) (2.1.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р1 + Р2. Н0=Н0,0 , Н1=Н1,0 Н0,1 , Н2=Н1,1

Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н0 Н1 Н2 ( (С2 L2((0, 2), dρк)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1΄ Р2΄ равенствами

Р1΄ = P1 P2 ( ( Iк ))

Р2΄ = P2 ( Iк ))

где Pi: Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0, 2), dρк)). Тогда А =Р1΄ + Р2΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 + bР2 (0

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 + bР2, 0 (А) [0, a] [b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н0 Нa Нb Нa+b ( (С2 L2([0, a] [b, a+b], dρк)))) (2.2.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→a+b.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2 (0 (А) [0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н0 Нa Нb Нa+b ( (С2 L2([0, a] [b, a+b], dρк))))

где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.

Обратно, пусть (А) [0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2 следующим образом

P1 = Pa Pa+b ( ( Iк ))

Р2 = Pb Pa+b ( Iк ))

где Рα: Н→Нα , α = a, b, a+b – ортопроекторы, Iк – единичный оператор в L2([0,a] [b, a+b]). Тогда

А = aР1 + bР2 = aР1 bР2 (a+b)Pa+b ( ( Iк ))

( Iк ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .

P2 = С .

А именно: 4 одномерных π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.

И двумерные: , τ (0, 1)

Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0

Список литературы

Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua/