84823 (* Алгебры и их применение), страница 4
Описание файла
Документ из архива "* Алгебры и их применение", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "84823"
Текст 4 страницы из документа "84823"
Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм
Нφк …
Нφк ≈ С2
Нк , где Нφк nк экземпляров, dim(Нφк
…
Нφк )=2nк dim(С2
Нк) = dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем разложение (1.1.)
Н = Н0,0 Н0,1
Н1,0
Н1,1
(
(С2
Нк))
Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,j и πк - *-подпредставления.
Учитывая кратности подпредставлений получаем
π = n0,0π0,0 n0,1π0,1
n1,0π1,0
n1,1π1,1
(
nкπк) (1.5.)
В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.
Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)
I = P0,0 P0,1
P1,0
P1,1
(
Рφк)
Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид
P1 = P1,0 P1,1
(
(
Iк ))
Р2 = P0,1 P1,1
(
Iк ))
Причем n1,0π1,0(р1) = P1,0 , n0,1π0,1(p2) = P0,1 , n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно
UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)
Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.
Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВL L, но тогда ВL
АL
L, то есть пара А, В – приводима.
Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть L
Н: АL
L и ВL
L, то из включения АВL
АL
L следует приводимость А и U, что невозможно.
Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.
Доказательство. Пусть Р1 и Р2 приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство L Н такое, что Р1L
L, Р2L
L. Рассмотрим АL = (2Р1 – I)L
L, ВL = (2Р2 – I)L
L, то есть А и В приводимы.
Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1 и Р2 также будут приводимы, так как Р1L = L
L, Р2L =
L
L, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.
(U), то e-iφ
(U).
Доказательство.
1) Если eiφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует f Н: ||f|| = 1 и Uf = eiφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU-1f = eiφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e-iφ принадлежит спектру U.
(U), то существует последовательность единичных векторов
в Н || fn || = 1 такая, что
||Ufn - eiφfn || = || UАfn - eiφ A fn || = || U-1Аfn - eiφ A fn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)
(U-1), следовательно e-iφ
(U).
Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.
Доказательство. Рассмотрим соотношения
А (U + U-1) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А
А (U - U-1) = А (U2 – 2I + U-2) = (U2 – 2I + U-2)А = (U - U-1)2А
Таким образом А (U + U-1) = (U-1 +U)А (2.2.)
А (U - U-1) = (U - U-1)2А (2.3.)
Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем
U + U-1 = cI
(U - U-1)2 = d2I
где c, d С. По теореме преобразования спектров eiφ+ e-iφ = c, eiφ- e-iφ = ±d.
Если d = 0, то (U) состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, х
Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек eiφ=
и e-iφ=
φ
Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ (или e-iφ), Нeiφ = {f H | Uf = eiφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = eiφf, U(Аf) = eiφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ= dimН-eiφ=1
Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {eiφ, e-iφ} φ
(0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:
А = , U =
, В =
Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер- ны и двумерны.
Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.
2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0 Н0,1
Н1,0
Н1,1
(
(С2
L2((0,
), dρк))) (2.4.)
где ρ1 > ρ2 >… ρк меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства
P1 = P1,0 P1,1
(
(
Iк )) (2.5.)
Р2 = P0,1 P1,1
(
Iк )) (2.6.)
Iк – единичный оператор в L2((0, ), dρк)
Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств
Н = Н0,0 Н0,1
Н1,0
Н1,1
Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.
Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечает циклическое представление πF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF на Т.
Пусть каждому вектору ξ Н поставим в соответствие подпространство Нξ
Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где х
А. Ограничения операторов из π(А) на Нξ является циклическим представлением. Обозначим его через πξ, а соответствующую меру на Т через μξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μξ > μη (то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ).
Нξ, тогда πη – циклическое подпредставление πξ. Пусть Е
Т и μξ (Е) = 0, тогда μη (Е) = 0, следовательно μξ > μη, а значит ξ>η.
Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Нηк. Пусть {ζi} – последовательность, в которой каждый из векторов ηi встречается бесконечное число раз. Определим ξк индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:
ξк+1 – максимальный вектор в ( Нξi)┴,
d (ζк, Нξi) ≤
.
Тогда разложение Н = Нξк такое что ξк>ξк+1 и μк>μк+1 .
Пусть представления πμ в L2(Т, μ) и πν в L2(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, μ) →L2(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπμ(g)f = πν (g)vf = πν (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = (С2
L2(Т, μк)), где μ1>μ2>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:
P1 = P1,0 P1,1
(
(
Iк ))
Р2 = P0,1 P1,1
(
Iк ))
Iк – единичный оператор в L2((0, ), dρк).
Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0 Н0,1
Н1,0
Н1,1
С2
Н(φ)dЕ(φ) (2.7.)
в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I+=E(0,
) в Н+ =
С2
Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство
P1 = P1,0 P1,1
I+ (2.8.)
Р2 = P0,1 P1,1
dЕ(φ) (2.9.)
Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L2(R, dρк), где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов
§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) =