84823 (* Алгебры и их применение), страница 3
Описание файла
Документ из архива "* Алгебры и их применение", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "84823"
Текст 3 страницы из документа "84823"
Нα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(
Нα) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нα}
Н0
М, содержащую максимальную систему {Нα}, что невозможно.
2.3. Неприводимые представления.
Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.
Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.
Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.
Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.
Доказательство. Пусть представление π неприводимо. При f Н, f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х)f , х
А, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство
{α f | α C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.
Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н.
Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).
Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни- ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое, что E(λ) =0 при λ<λ0 и E(λ) =1 при λ>λ0 . Отсюда
В= λ dE(λ) = λ0 1.
Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста- новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,
В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*
Поэтому эрмитовы операторы В1= , В2=
также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В – скаляр.
Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.
Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н → Н΄ такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого х А, называется оператором сплетающим π и π΄.
Пусть Т : Н → Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т* : Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как
Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*
Отсюда получаем, что
Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)
Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого х А
Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)
Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует
Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.)
Если, кроме того, = Н΄, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.
Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.
2.4. Конечномерные представления.
Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π1 …..
πn , где πi неприводимы.
Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ Разложение π = π1 ….. πn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности. Пусть ρ1, ρ2 – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1 и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi . Итак, перегруп- пировав πi , получаем, что π = ν1 ….. νm, где каждое νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных νi΄. Таким образом, доказано предложение. Теорема 2.8. В разложении π = ρ1ν1΄ ….. ρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρi и классы представлений νi΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений. 2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства. Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: Т В, Ø В, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению. Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1. Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений. Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т. Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))t T, Г), где (H(t))t T – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям: (i) Г – векторное подпространство Н(t); существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого t T элементы хn(t) образуют последовательность H(t); для любого х Г функция t→||x(t)|| μ – измерима; пусть х – векторное поле; если для любого y Г функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то х Г. Пусть ε = ((H(t))t T, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если х Г и ||x(t)||2 dμ(t) < +∞. Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λ С) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим (x, y) = (x(t), y(t)) dμ(t) Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dμ(t). Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))t T, Г) – измеримое поле гильбер- товых пространств на Т. Пусть для любого t T определен оператор S(t) L(H(t)). Если для любого х T поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем. Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т, t→Н(t) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого t T задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А. Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого х А поле операторов t→π(t)х измеримо. Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого х А можно образовать непрерывный оператор π(х)= π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост- ранстве Н = Н(t) dμ(t). Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н. Доказательство. Для любых х, y А имеем π(х+y) = π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) = π(t) (x )dμ(t) + + π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y) Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)* Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π = π(t) dμ(t). Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t) L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н= Н(t)dμ(t). Пусть ε = ((H(t))t T, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)= . Тогда отображение, которое каждому х Н== Н(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1= Н(t) dμ1(t), есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим. Действительно, || ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = ||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = ||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2 Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t), Н = Н(t) dμ(t) , π1== π(t )dμ(t), Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 – мера на Т, эквивалентная μ, Н1 = Н(t) dμ1(t) , π1 = π(t) dμ1(t), Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1. Доказательство. Пусть ρ(t)= . Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х = x(t) dμ(t) Н в Ux = ρ-1/2х(t) dμ1(t). Пусть α А. Имеем π1(α)Ux = π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = U π(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x, поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если S Д, то аналогично SUx = USx, для любого х Н. Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские пространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1 соответственно; ε = ((H(t))t T, Г), Z1 = ((H1(t1))t1 T1, Г), - μ-измеримое и μ1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1; η-изоморфизм ε на ε1 называется семейство (V(t))t T, обладающее следующими свойствами: для любого t T отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t)); для того, чтобы поле векторов t→x(t) H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) Н1(η(t)) на Т1 было μ1-измеримо. Отображение, переводящее поле х Н = Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) Н1 = Н1(t) dμ1(t) , есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый V(t) dμ(t). Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t), Н = Н(t) dμ(t), π == π(t) dμ(t), Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H1(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1. Предположим, что существует: N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0; борелевский изоморфизм η: T\N →T\N1, преобразует μ в μ1; η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (t Z\N) на поле t1→Н1(t1) (t1 Т1\N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t. Тогда V = V(t)dμ(t) преобразует Д в Д1 и π в π1. Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные операторы в Н(t) и Н1(t1). Если f L∞(T, μ) и если f1 – функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует f(t)It dμ(t) в f1(t1) It1 dμ1(t1), поэтому V преоб- разует Д в Д1. С другой стороны, пусть α х(t) dμ(t) Тогда Vπ(α)х = V π(t)(α) х(t) dμ(t) = V(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1 (α) V х Поэтому V преобразует π в π1. Приведем примеры прямых интегралов. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого n Н(n) dμ(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ- ной сумме. Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке t Т соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L2 (0, 1). Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt →х(t) Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием. § 3. Тензорные произведения пространств 3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Нк. Образуем формальное произведение (3.1.) (n раз), то есть рассмотрим упорядо- ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро- ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1 ,…, Нn = . Его векторы имеют вид: f = (fα < ∞ (3.2.) Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде- ляется формулой (f, g) = (3.3.) Пусть f(k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению f = f(1) … f(n) = (3.4.) Коэффициенты fα = разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом || f || = (3.5.) Функция Н1 ,…, Нn < > линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается α. Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению. Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 f2, причем считается, что (f1 + g1) f2 = f1 f2 + g1 f2 (3.6.) f1 (f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2 (3.7.) (λ f1) f2=λ (f1 f2) (3.8.) f1 λ (f2) = λ (f1 f2) (3.9.) Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.). Затем вводится скалярное произведение в L. (f1 f2 , g1 g2 ) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.) f1, g1 Н1; f2, g2 а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом. 3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов. Теорема 3.1. Пусть , - две последовательности гильбер- товых пространств, - последовательность операторов Ак L(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1 … Аn = Ак формулой ( ) f = ( ) = (3.11.) ). Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L ( , ), причем || || = || || (3.12.) Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1 ,…, Нn = (Н1 ,…, Нn-1) Нn общий случай получается по индукции. Пусть - некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g = G2. В качестве f возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα. Зафиксируем α2, β1 Z+ и обозначим через f(α2) и через g(β1) . Получим = = = ≤ = = ≤ = = Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1 G2 ряда уже при произвольном c Н2 и оценка его нормы в G1 G2 сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1 Н2 →G1 G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||. Из (3.5.) и (3.11.) следует ||(A1 A2) (f1 f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано. Из (3.11.) получаем для Ак L(Hк, Gк), Вк L(Hк, Gк) (к = 1,…, n) соотношения ( Вк) ( Ак) = (Вк Ак) (3.13.) ( Ак)* = Ак* (3.14) ( Ак) (f1 … fn) = A1 f1 … An fn (3.15.) (3.15) однозначно определяет оператор Ак. Приведем пример. Пусть Hк = L2( (0,1), d ( mк)) = L2 Действительно, вектору вида (3.1.) поставим в соответствие функцию L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2. Глава II. Задача о двух ортопроекторах § 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2 P2 = С порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами. Положим u = 2p1 – 1, v = 2p2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы. u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы. Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе: P2 = С = C Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами. Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности. 1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1. P2 = С Обозначим через Рк = π(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и π - *-представление, то Рк2 = Рк* = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {y H | Рк y = y } к = 1, 2. Возможны следующие случаи: Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0. Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0. Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1. Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1. Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны. 1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 . Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ - ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1 Н1┴ , Н=H2 Н2┴ Введем дополнительные обозначения : Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.) Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым. Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид . Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2}. П усть g1 = a11e1 + a12 e2 g2 = a21e1 + a22e2 e1 = b11g1 + b12g2 e2 = b21g1 + b22g2 Рассмотрим векторы h1 = eite1 и h2 = eile2, тогда || h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1 (h1 ,h2 ) = (eite1 , eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1 ,h2} – ортонормированный базис. Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0. Значит в базисе {h1 ,h2} матрица оператора Р1 также имеет вид . Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1) (e1, e2 ) = 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что a 22 = - ra11 a21 = ra12 Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно a 112 + a122 = 1 |a22 |2 + |a21 |2 = 0 тогда | r | = 1. Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2, Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2. Найдем b11 и b21: e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2, b 11a11 + b12a12 = 1 b11a12 + b12a22 = 0 или b 11a11 + b12a12 r = 1 b11a12 - b12a11 r = 0, Тогда b11 = a11. Аналогично E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2, b 21a11 + b22a21= 0 b21a12 + b22a22 = 1, отсюда находим, что b21 = a12. Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2) Р2 = , где a11>0, a12>0 и a112 + a122 =1 А) Пусть a112 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11a12 = . Так как a11a12 >0, то τ Тогда Р2 = . В) Положим a11 = cosφ,тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом Р2 = . Найдем коммутант π(P2). Пусть Т = оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда ТР1 = = Р1Т = = Следовательно b = c = 0. ТР2 = = Р2Т = = Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо. Покажем, что все эти представления неэквивалентны. Пусть τ, ν (0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда UР1 = Р1U, следовательно U= , a, b UР2 (τ) = = Р2 (ν) U = = . Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны. Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 . Тогда: (i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1; (ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p1) , π(p2) τ Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p2) = φ ). 1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.) Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо. Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма. Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х Н1 такой, что Р1Р2х = λх, где λ Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями к = 1,…, n к = 1,…, n , gk Р1Р2х = Р1Р2 = Р1Р2 = Р1 = = Р1 = = ( ) = Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn: = j = 1,…, n Подбирая λ C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму. Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2. Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a + λb) х L, Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х L dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1). Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = Р2х, значит = 0 или 1 и х Итак, получаем предложение. Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред- ставлений *-алгебры P2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны. 1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π. Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе- ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ( Нк)), (1.1.) где каждому подпространству Нк соответствует одно φк (0, ), φк ≠ φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j , Рφк: Н → С2 Нк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1 ( Рφк), (1.2.) P1 = P1,0 P1,1 ( ( Iк )) (1.3) Р2 = P0,1 P1,1 ( Iк )) (1.4) где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m). Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого- нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк ): Н΄ = Нφк, (l = n - )