1 (Метода по ОДУ теория), страница 2

Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений, выявить характер интегральных кривых.

 Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения

проходящую через заданную точку M(0;1).

Уравнение изоклин получим, полагая следовательно,

  или

Таким образом, изоклинами данного уравнения являются концентрические окружности с центром в начале координат, причем угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым равен радиусу этих окружностей С. Для построения поля направлений даем постоянной С различные определенные значения: C = 0,5; 1;

1,5; 2,... Для изоклины, соответствующей, например, C=1, следовательно, окружность радиуса C=1 интегральные кривые пересекают под одним и тем же углом, составляющим с положительным направлением оси OX. Поле направлений на плоскости изображается штрихами. После этого уже можно приближенно провести искомые интегральные кривые, в частности, через заданную точку (см.рис.).

y

¦

¦

¦

¦

-------------+--------------- x

¦

¦

¦

1.1.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

 Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет вид

(1.7)

Интегрируя уравнение (1.7), получим

или (1.8)

где

Конечное ( не дифференциальное ) соотношение (1.8) и является общим интегралом уравнения (1.7).

 Пример. Решить уравнение .

Очевидно, это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим

Следовательно, общий интеграл уравнения будет

Дифференциальное уравнение вида

(1.9)

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными . Уравнение (1.9) делением обеих частей на произведение функций  приводится к уравнению с разделенными переменными

общий интеграл которого

 Пример. Решить равнение Разделяем переменные делением на выражение

Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными

Тогда

Так как C₁ - произвольная постоянная, принимая ее для упрощения полученного выражения в виде

представим общий интеграл в виде

1.1.3. Однородные дифференциальные уравнения

Если уравнение или

не меняется при замене x на kx, y на ky, то оно называется однородным.

Однородное дифференциальное уравнение подстановкой

приводится к уравнению с разделенными переменными.

 Пример. Решить уравнение

Преобразуем уравнение к виду

Так как

, то исходное уравнение однородное.

Полагаем и тогда уравнение примет вид

или

Разделив обе части уравнения на   приходим к уравнению с разделенными переменными

Интегрируя его, находим   или

Возвращаясь к старой переменной, получим общий интеграл исходного уравнения в виде

1.1.4. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Дифференциальное уравнение вида

называется приводящимся к однородному. В частности, к этому классу относится уравнение вида

(1.10)

Некоторые из коэффициентов (но не одновременно и ) могут быть равны нулю.

Следует различать два случая: 

1) Если определитель , то уравнение(1.10)

приводится к однородному подстановкой

где постоянные  и определяются из системы уравнений:

Действительно, учитывая, что следо-

вательно, , и подставляя (1.11) в (1.10), полу-

чим - однородное уравнение относительно

новой функции v(u). Полагая далее t=v/u, приводим последнее уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. 

2)Если определитель , то уравнение (1.10)

сразу приводится к уравнению с разделенными переменными заменой

 Пример. Решить уравнение

В этом уравнении Поэтому 

.   Полагая находим  и из

системы уравнений:

следовательно,

Уравнение приводится к однородному  

Полагая далее приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции t:

Возвращаясь к старой переменной, получим

1.1.5. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

(1.12)

содержащее искомую функцию и ее производную в первой степени. Функции P(x) и Q(x) предполагаются непрерывными.

Рассмотрим интегрирование этого уравнения  методом вариации  произвольной постоянной. Сначала ищется решение соответствующего линейного уравнения при нулевой правой части: . Такое уравнение называется линейным однородным. Разделяя в нем переменные, получим его общее решение в виде

(1.13)

Далее ищется общее решение исходного уравнения с ненулевой правой частью в виде (1.13), но произвольная постоянная в (1.13)заменяется неизвестной функцией

(1.14)

Подставляя (1.14) в (1.12), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции v(x), интегрируя которое находим эту функцию. В результате общее решение уравнения (1.12) может быть представлено в виде

(1.15)

Формула (1.15) является общим решением линейного дифференциального уравнения (1.12) в форме Коши.

 Пример. Решить задачу Коши для уравнения при начальном условии y(0)=1. Находим общее решение линейного однородного уравнения . Оно имеет вид

Заменяем произвольную постоянную C в этом решении неизвестной функцией v(x):

Вычисляем

Подставляя и в исходное уравнение, получим

Общее решение уравнения примет вид

Находим произвольную постоянную C из начального условия: при

x=0 C-1/4=1 C=5/4.

Следовательно, решение задачи Коши будет

Решение линейного дифференциального уравнения (1.12) может быть также получено, если искомую функцию представить в виде произведения двух произвольных функций (метод Бернулли [4]):

(1.16)

Тогда (1.17)

Подставляя (1.16) и (1.17) в (1.12), получим

(1.18)

Функцию u(x) подбираем так, чтобы она была одним из решений уравнения

.

После разделения переменных получим

(1.19)

Тогда уравнение (1.18) примет вид

.

Следовательно,

Интегрируя это уравнение, находим функцию v:

. (1.20)

Подставляя (1.19) и (1.20) и (1.16), получим общее решение уравнения (1.12) в виде (1.15).

1.1.6. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

(1.21)

где

Уравнение Бернулли является нелинейным, но оно приводится к линейному следующим преобразованием:

1) Обе части уравнения умножаются на ,тогда

2) Далее применяется подстановка

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим

, следовательно,

В результате уравнение становится линейным относительно функции

z:

. (1.22)

Уравнение (1.22) может быть решено методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.

 Пример. Решить уравнение

Умножаем обе части уравнения на

 Полагаем и уравнение преобразуется в линейное

(1.23)

Находим сначала решение соответствующего линейного однородного уравнения

Решение неоднородного уравнения (1.23) отыскиваем в виде

тогда

После интегрирования получим

поэтому общее решение исходного уравнения будет иметь вид

1.1.7. Уравнение в полных дифференциалах

Уравнение вида

(1.24)

называется уравнением в полных дифференциалах, если коэффициенты M(x,y) и N(x,y) представляют собой непрерывные и дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию

(1.25)  

Условие (1.25) есть необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения (1.24) представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух независимых переменных du(x,y). Поэтому уравнение (.24) может быть представлено в компактной форме

Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид

Как известно, полный дифференциал функции двух переменных равен

(1.26)

Сравнивая выражение (1.26) и левую часть уравнения (1.24),можно заключить, что

(1.27)

Интегрируя, например, первое из выражений (1.27), получим

(1.28)

где  - произвольная функция интегрирования (в частности, она может быть константой). Заметим, что при вычислении интеграла в (1.28) функция y рассматривается как постоянная. Функция определяется из решения дифференциального уравнения, получающегося из соотношения (1.28) и второго условия (1.27).

 Пример. Решить уравнение

(1.29)

Здесь и

Поэтому уравнение (1.29) является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно,

Дифференцируя последнее равенство по y и приравнивая значению N,получим

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, находим Таким образом, общий интеграл исходного уравнения равен

или при