1 (Метода по ОДУ теория)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "МАМИ"

Кафедра “Прикладная и вычислительная математика"

Е.А. Коган, В.Е. Попович

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Операционное исчисление

Под редакцией чл.-корр. РАН

Э.И. Григолюка

Допущено

Министерством образования РФ

в качестве учебного пособия по курсу

"Высшая математика" для студентов

высших технических учебных заведений

Москва 2001

УДК 517.91 (095)

Коган Е.А., Попович В.Е. Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление. Учебное пособие по курсу "Высшая математика" для студентов втузов. Под редакцией Э.И.Григолюка - М.: МАМИ, 2001. - с.

Приведены краткие теоретические сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и по решению их операционным методом. Помимо основного материала, соответствующего программе курса высшей математики для втузов, излагаются сведения о применении степенных рядов к интегрированию дифференциальных уравнений. Изложение материала сопровождается подробными решениями типовых задач. Для самостоятельного решения приведены варианты расчетно – графических работ по обыкновенным дифференциальным уравнениям и операционному исчислению. - Библ. 10.

С Московский государственный технический университет "МАМИ"

2001

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие является руководством к решению задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и операционному исчислению и содержит теоретические сведения в краткой справочной форме (без выводов и доказательств) в объеме, необходимом для понимания сути обсуждаемых методов решения дифференциальных уравнений, встречающихся в расчетно-графических работах по упомянутым разделам курса. Строгое и подробное изложение теории дифференциальных уравнений и операционного исчисления содержится во многих учебниках и пособиях [1-13].

Изучение дифференциальных уравнений имеет важнейшее значение в математической подготовке инженера. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения представляют собой математические модели самых разнообразных процессов и явлений, так как их решения позволяют описать эволюцию изучаемого процесса, характер происходящих с материальной системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы.

Вывод дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений), описывающих то или иное явление, представляет собой отдельную самостоятельную задачу. Сложность ее состоит в том, что при выводе дифференциальных уравнений необходимо удовлетворить противоречивым требованиям. С одной стороны, построенная математическая модель должна быть адекватной рассматриваемому явлению. С другой стороны, получающиеся дифференциальные уравнения должны иметь по возможности простое решение. Это требует введения различных допущений физического характера, а следовательно, глубокого понимания сути рассматриваемого явления.

С выводом и применением дифференциальных уравнений (или их систем) к решению тех или иных прикладных задач студенты встречаются при изучении различных общеобразовательных и специальных курсов (физики, теоретической механики, сопротивления материалов, электротехники и др.). Предметом настоящего пособия является изучение методов решения дифференциальных уравнений и их систем.

Пособие состоит из трех разделов.

Первый раздел посвящен обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка. В нем даны краткие теоретические сведения и типовые примеры решения уравнений первого порядка различного типа, интегрируемых в квадратурах.

Во втором разделе рассмотрены точные и приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными и переменными коэффициентами и системы дифференциальных уравнений. Подробно изложена методика применения степенных рядов к решению задачи Коши и краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений.

Третий раздел посвящен операционному исчислению. В нем кратко изложены основные свойства преобразования Лапласа, методы обратного преобразования Лапласа, решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом. Приведены примеры решения соответствующих задач.

В приложениях даны варианты расчетно - графических работ по обыкновенным дифференциальным уравнениям и операционному исчислению.

1.ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Если производные от неизвестной функции, входящие уравнение, берутся только по одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным . Уравнения, содержащие производные по нескольким независимым переменным, называются дифференциальными уравнениями в частных производных . В данном пособии будут рассматриваться только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок наивысшей (старшей) производной, входящей в дифференциальное уравнение, определяет порядок дифференциального уравнения .

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем виде записывается так:

(1.1)

где y(x)-неизвестная функция, x-независимая переменная, - производные от неизвестной функции.

 1.1.Обыкновенные дифференциальные уравнения

 первого порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1.2)

Обычно обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано или в форме, разрешенной относительно производной

(1.3)

или в форме, содержащей дифференциалы

(1.4)

 Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется  интегрированием 0 дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой . Отличительное свойство дифференциальных уравнений состоит в том, что при их интегрировании обычно получается бесчисленное множество решений. Для уравнения первого порядка это множество описывается одной произвольной постоянной. Чтобы выделить из бесконечного множества решений то, которое описывает именно данный процесс, необходимо задать дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Такое дополнительное условие называется  начальным условием . Оно ставится так: требуется, чтобы при некотором начальном значении независимой переменной   искомая функция равнялась заданному числу:

  или (1.5)

 Задача интегрирования дифференциального уравнения первого порядка совместно с начальным условием называется начальной задачей или задачей Коши.

Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее, частное и особое решения, а также общий, частный и особый интегралы.

 Общим решением дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, называется такое семейство функций зависящих от x и произвольной постоянной C, что

1) при любом допустимом значении постоянной C функция является решением уравнения;

2) каково бы ни было начальное условие (1.5), можно подобрать такое значение постоянной  ,что решение   будет yдовлетворять условию . 

 Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение, которое получается из общего при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной, то есть функция вида

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.

 Особым решением дифференциального уравнения называется решение, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной.

Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается получить общее решение в явном виде, а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида

(1.6)

содержащее решение y в неявной форме. Такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения. Частным интегралом называется соотношение, которое получается из общего интеграла при конкретном значении произвольной постоянной.

Геометрически общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка изображается семейством интегральных кривых на плоскости, зависящих от одного параметра C. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через начальную точку

1.1.1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка.

Поле направлений. Изоклины

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной . Задавая координаты x,y произвольной точки на плоскости, можно определить значение производной в этой точке то есть найти направление касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Поэтому говорят, что дифференциальное уравнение первого порядка определяет поле направлений на плоскости. В каждой точке плоскости известно направление касательной к интегральной кривой, проходящей через данную точку. Геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одинаковый наклон, то есть выполняется соотношение  называется изоклиной данного дифференциального уравнения.

 Уравнение изоклины, соответствующей значению C, будет, очевидно, . Построив семейство изоклин, можно приближенно найти семейство интегральных кривых данного уравнения.