183428 (Балансовый метод планирования), страница 2

Подставляя соотношения (1.2) в уравнение баланса (1.1), получаем систему n линейных уравнений относительно переменных х₁, х₂,…, х_n:

х₁ = а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + … а_1n х_n + у₁,

х₂ = а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + … а_2n х_n + у₂,

…………………………………..

х_n = а_n1 х₁ + а_n2 х₂ + … а_nn х_n + у_n,

или, в матричной записи,

х = Ах + у, (1.3)

где а₁₁ а₁₂ … а_1n х ₁ у₁

А = а₂₁ а₂₂ … а_2n , х = х ₂ , у = у₂ .

……………. … …

а_n1 а_n2 … а_nn х_n у_n

Вектор х называется вектором валового выпуска, вектор у – вектором конечного потребления, а матрица А – матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.

2.2 Продуктивные модели Леонтьева

Определение. Матрица А ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора у ≥ 0 существует решение х ≥ 0 уравнения

х = Ах + у (2.4)

В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое конечное потребление у можно обеспечить при подходящем валовом выпуске х.

Уравнение Леонтьева (2.4) можно записать следующим образом:

(Е – А)х = у, (2.5)

где Е – единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е – А. Понятно, что если обратная матрица (Е – А)^-1 существует, то из (2.5) вытекает

х = (Е – А)^-1 у. (2.6)

Теорема 1 (первый критерий продуктивности).

Матрица А ≥ 0 продуктивна только тогда, когда матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна.

Доказательство.

Если матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна, то из (2.6) сразу же следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица А продуктивна. Рассмотрим следующие системы уравнений:

(Е – А)х = е₁, (Е – А)х = е₂, …, (Е – А)х = е_n ,

Где е₁, е₂, …, е_n – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) с₁ ≥ 0, с₂ ≥ 0, …, с_n ≥ 0, что

(Е – А)с₁ = е₁, (Е – А)с₂ = е₂, …, (Е – А)с_n = е_n (2.7)

Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с₁ с ₂, …, с _n. Тогда вместо n равенств (2.7) можно написать одно:

(Е – А)С = Е.

Следовательно, матрица Е-А имеет обратную С, причем С ≥ 0.

Теорема доказана.

Теорема 2 (второй критерий продуктивности).

Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.

Доказательство.

Пусть неотрицательная матрица А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существует решение х ≥ 0 уравнения (2.4) Пусть у > 0, тогда, очевидно, х > 0. Умножив равенство (2.4) слева на левый вектор Фробениуса р^Т_А и учитывая, что

р^Т_АА = λ_Ар^Т_А, (2.8)

получим

λ _А (р^Т_А х) + р^Т_А у = р^Т_А х,

или

(1 – λ_А)(р^Т_А х) = р^Т_А у.

Так как р^Т_А ≥ 0 и у ≥ 0, х ≥ 0, то р^Т_Ау > 0, р^Т_Ах > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что λ_А < 1.

Обратно, пусть неотрицательная матрица А имеет число Фробениуса λ_А < 1. Покажем, что она продуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы (2.4) существует решение х ≥ 0.

Рассмотрим следующую неотрицательную матрицу размера (n + 1)(n+ 1):

а₁₁ а₁₂ … а_1n у₁

а₂₁ а₂₂ … а_2n у₂

А = …………….

а_n1 а_n2 … а_nn у_n

0 0 … 0 1

Где а_ij – элементы матрицы А и у₁, …, у_n – координаты вектора у. В более компактной форме матрицу можно записать так:

А = А у

0 1

Умножая эту матрицу слева на вектор р^Т = (0, …, 0,1), легко убедиться, что

р^ТА = р^Т.

Следовательно, одним из собственных значений матрицы А является вектор λ = 1.

Пусть вектор Х = (х₁ , …, х_n , х_n+1 ) = (х , х_n+1) является собственным вектором матрицы А, т.е. АХ = λХ. В силу определения матрицы А эторавносильно тому, что

А у х = λ х

0 1 х_n+1 х_n+1

или

Ах + у х_n+1 = λх,

х_n+1 = λ х_n+1. (2.9)

Если λ ≠ 1, то из второго соотношения системы (2.9) следует, что х_n+1 = 0, в силу чего первое уравнение имеет вид Ах = λх. Следовательно, λ – собственное значение матрицы А и, по нашему предположению |λ| < 1. Таким образом, λ_А = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор х_А = ( х_А , х_n+1), соответствующий λ_А =1. Очевидно, что х_n+1 ≠ 0, так как в противном случае из (2.9) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса λ_А < 1. Поэтому мы можем считать, что х_n+1 = 1. В силу того, что х_n+1 = 1, равенство (2.9) принимает вид

Ах_А + у = х_А.

Поскольку х_А = (х_А, х_n+1) ≥ 0, то х_А ≥ 0.

Следовательно, матрица А продуктивна.

Следствие.

Если для неотрицательной матрицы А и некоторыого положительного вектора у уравнение (2.4) имеет неотрицательное решение х, то матрица А продуктивна.

Доказательство.

Как было уже показано, из существования положительного решения у уравнения (2.4) следует, что λ_А < 1. На основании теоремы Фробениуса матрица А продуктивна.

Теорема 3 (третий критерий продуктивности).

Неотрицательная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд

Е + А + А² + … (2.10)

Доказательство.

Пусть сходится ряд (2.10). Согласно лемме его сема равна (Е – А)^-1. При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 1.3 следует продуктивность А.

Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд (2.10) сходится) доказывать не будем.

3. Вектор полных затрат

Пусть А ≥ 0. Равенство

(Е – А)^-1 = Е + А + А² + … (3.11)

справедливо, как мы уже знаем, в том случае, когда матрица А продуктивна, имеет экономический смысл.

х = у + Ау + А²у + … (3.12)

В чем смысл распадения вектора х на слагаемые у, Ау, А²у и т.д.? Для получения валового выпуска, обеспечивающего конечное потребление у, нужно прежде всего произвести набор товаров, описываемый вектором у. Но этого мало – ведь для получения у нужно затратить ( а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором Ау. Но и этого мало – для получения Ау нужно осуществить дополнительные затраты, описываемые вектором А(Ау) = А²у, и т.д. В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск х должен составляться из слагаемых у, Ау, А²у и т.д., что и зафиксировано в формуле (3.12). В соответствии с этим рассуждением сумму у + Ау + А²у + … называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируют так: вектор валового выпуска х совпадает с вектором полных затрат.

Чтобы сделать заключение более конкретным, рассмотрим такой пример. Пусть речь идет о блоке из трех промышленных отраслей:

1. металлургия;

2. электроэнергетика;

3. угледобыча.

Для получения конечного выпуска у = (у₁ , у₂ , у₃)^Т необходимо прежде всего произвести:

у₁ т металла; у₂ кВт.ч электроэнергии; у₃ т угля.

Но для производства у₁ т металла, в свою очередь, необходимо затратить (а значит, сначала произвести) какие-то количества металла, электроэнергии и угля. То же самое мправедливо и в отношении производства у₂ кВт.ч. электроэнергии и у₃ т угля

В свою очередь, для производства у₁₁ т металла необходимо затратить какие-то количества металла, электричества и угля, и т.д. Искомый валовой выпуск х представляет собой сумму затрат 0-го порядка (вектор у), 1-го порядка (вектор Ау), 2-го порядка (А²у) и т.д.

4. Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х = (х₁ , х₂, …, х_n)^Т – вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р₁ , р₂ , …, р_n)^Т вектор цен, i координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли; тогда, например, первая отрасль получит доход, равный р₁ х₁. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции, ей необходима продукция первой отрасли в объеме а₁₁, второй отрасли в объеме а₂₁, и т.д., n-й отрасли в объеме а_n1. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х₁ первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V₁ (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х₁р₁ = х₁(а₁₁р₁+а₂₁р₂+…+ а_n1р_n) + V₁.

Разделив это равенство на х₁ получаем:

р₁ = а₁₁ р₁ + а₂₁ р₂ + … + а_n1 р_n + v₁,

где v₁ = V₁/х₁ – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей

р₂ = а₁₂ р₁ + а₂₂ р₂ + … + а_n2 р_n + v₂,

р_n = а_1n р₁ + а_2n р₂ + … + а_nn р_n + v_n.

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

р = А^Тр + v,

где v = (v₁, v₂, …, v_n)^Т – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на А^Т.

Вывод

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены одной из отраслей.

Балансовый метод – это метод взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них. Среди множества разновидностей балансового метода наиболее распространен межотраслевой баланс, увязывающий источники и направления использования ресурсов. Как правило, при применении балансового метода производятся вариантные расчеты с помощью вычислительной техники

Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель народного хозяйства, что позволяет проводить многовариантные расчеты структуры общественного производства по заданному объему и структуре конечного продукта. Это имеет важное значение на предварительной стадии составления плана для осуществления вариантов расчетов пропорций, темпов и отраслевой структуры экономики, а также на последующих стадиях планирования для повышения уровня сбалансированности отраслей и анализа межотраслевых связей. Таким образом, разработка межотраслевого баланса является одной из предпосылок развития методологии оптимального планирования.

Данные полученные по модели межотраслевого баланса, дают возможность судить о тенденциях развития технического прогресса, о насыщении экономики производственными фондами, капитальными вложениями, трудовыми ресурсами и т.д. Такой анализ возможен на основе сопоставления матриц прямой и полной фондо-, капитало-, трудоемкости и др.

Межотраслевой баланс, разработанный в трудовых единицах, дает информацию, необходимую для построения рациональной системы цен.