183428 (Балансовый метод планирования), страница 3

Итак, балансовый метод заключает в себе использование балансов для взаимного сопоставления ресурсов (материальных, трудовых, финансовых) и потребностей в них.

Задача 1

Компания производит продукцию двух видов А и В. Обе требуют работы двух цехов сборочного и отделочного. Сведения о производстве:

Компания заинтересована в наибольшей прибыльности этих комбинаций продукции. Найти сколько надо производить продукции А и В, чтобы валовая прибыль была максимальная.

Решение

Введем переменные:

х₁ – количество продукции вида А;

х₂ – количество продукции вида В.

Строим математическую модель:

F_мах = 5х₁ + 32х₂ при условиях:

3х₁ + 5х₂ ≤ 15;

5х₁ + 2х₂ ≤ 10.

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, т.к. продукция выпускаемая не может быть отрицательной.

Задачу можно решить графическим методом и можно решить или проверить симплекс-методом.

Для решения графическим методом запишем граничные прямые:

1) 3х₁ + 5х₂ = 15;

2) 5х₁ + 2х₂ = 10.

Строим граничные прямые на плоскости, но для этого найдем точки для построения прямых:

1. х₂ = 0; х₁ = 5; х₁ = 0; х₂ = 3;

2. х₂ = 0; х₁ = 2; х₁ = 0; х₂ = 5.

ОДЗ – многоугольник ОАВСD.

Для определения ОДЗ (области допустимых значений) необходимо найти направление полуплоскостей.

Для испытания берем точку О(0;0) и подставляем её координаты в неравенство (1) и (2), если неравенство удовлетворяется, то полуплоскость направлена к точке (0;0). При наложении полуплоскостей друг на друга получим ОДЗ.

Строим вектор целевой функции С, перпендикулярно к нему проводим линию уровня (пунктирная линия). Перемещаем линию уровня по ОДЗ в направлении вектора целевой функции С и самая дальняя точка от начала координат – это точка А(0;3) в ней х_опт.

Подставим координаты (0;3) в целевую функцию и получим её максимальное значение

F_mах = 5*0 + 3*32 = 96 ед. стоимости в точке А(0;3).

Для получения прибыли равной 96 ед.ст. необходимо включить в план продукцию типа В.

Задача 2

Фирма дополнительно освоила выпуск продукции четырех видов В₁, В₂, В₃, В₄. Для выпуска это продукции необходимо сырьё четырех видов А₁, А₂, А₃, А₄, которое фирма может ежемесячно покупать в ограниченном количестве. Количество сырья каждого вида, которое необходимо для производства каждого вида ассортимента продукции, а также ежемесячное поступление каждого вида сырья приведены в таблице.

Построить математическую модель и определить, какой ассортимент продукции и в каком количестве должна производить фирма, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Решение

Введем переменные:

х₁ – количество продукции типа В₁;

х₂ – количество продукции типа В₂;

х₃ – количество продукции типа В₃;

х₄ – количество продукции типа В₄.

Строим математическую модель задачи:

F_mах = 8х₁ + 10х₂ + 12х₃ + 18х₄

при условиях:

2х₁ + 4х₂ +6х₃ + 8х₄ ≤ 2110;

2х₁ + 2х₂ + 0*х₃ + 6х₄ ≤ 1810;

0*х₁ + х₂ + х₃ + 2х₄ ≤ 1440;

х₁ + 0*х₂ + х₃ + 0*х₄ ≤ 1120.

х_j ≥ 0; j = 1,4.

Приводим систему ограничений к каноническому виду:

2х₁ + 4х₂ +6х₃ + 8х₄ + х₅ = 2110;

2х₁ + 2х₂ + 6х₄ + х₆ = 1810;

х₂ + х₃ + 2х₄ + х₇ = 1440;

х₁ + х₃ + х₈ = 1120.

х_j ≥ 0; j = 1,8.

Приводим систему ограничений к виду удобному для решения. Для этого проверим наличие единичного базиса в системах ограничений и так как он есть, то решаем задачу прямым симплекс-методом.

Ответ: F_mах = 7840 ед. стоимости; х_опт = (905; 0; 50; 0; 0; 0; 1390; 165).

Для получения прибыли равной 7840 ед. стоимости необходимо включить в план продукцию первого и третьего вида в количествах:

В₁ = 905 ед.;

В₃ = 50 ед.,