ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 2) (Лекции (ворд))

Примеры.

1.

2. Множество трехмерных векторов- направленных отрезков.

- по правилу трехгранника или параллелограмма.

8 аксиом выполняются.

3. ( строк, столбцов).

Множество матриц порядка

как обычно, как обычно. Это есть линейные пространства.

4. Множество многочленов степени

- обычные алгебраические операции.

Это есть линейное пространство.

5. Множество непрерывных функций на отрезке .

- обычные алгебраические операции.

8 аксиом выполняются.

Это есть линейное пространство.

Контрольные примеры.

1. Множество многочленов степени .

Введем - обычные алгебраические операции.

(так как 2- многочлен нулевой степени)

2.

Р ассмотрим векторы- направленные отрезки, параллельные либо

либо .

- обычные алгебраические операции.

Может быть . Это не есть линейное пространство.

3. Пусть - множество действительных чисел.

Но выполнена первая аксиома:

это не есть линейное пространство.

п.2. Базис и размерность пространства.

Определение 1. Линейной комбинацией векторов называется вектор вида , где - некоторые действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Определение 2. Система векторов называется линейно-зависимой, если :

Если же линейная комбинация векторов обращается в , только если , то система называется линейно-независимой.

Утверждение 1. - линейно-зависимая система хотя бы один из векторов может быть выражен в виде линейной комбинации других.

Утверждение 2. Если среди есть , то это линейно-независимая система.

Доказательство.

Пусть для определенности

- линейно-зависимая, так как (не все

равны нулю)

Утверждение 3. Если система содержит линейно-зависимую подсистему, то - линейно-зависимая система.

Доказательство.

Пусть для определенности - линейно-зависимая подсистема :

- линейно-зависимая система по определению.

Определение 3.

Система векторов называется базисом в линейном пространстве , если

1). - линейно-независимая система

2). можно записать

Числа - координаты в базисе , правая часть равенства называется разложением по базису .

Утверждение 4. Разложение вектора по базису- единственное.

Доказательство. Пусть два разложения :

Если вычесть одно разложение из другого, получим:

.

Но система линейно-независима последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда , .

Следствие. Два вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты в некотором базисе совпадают.

Утверждение 5. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении на число его координаты умножаются на это число.

Теорема. Пусть в линейном пространстве базис из векторов. Тогда система из большего чем числа векторов является линейно-зависимой.

Доказательство. Пусть - базис, система - произвольная система векторов, . Рассмотрим произвольную комбинацию : (V).

Разложим по базису :

……………………….

Подставим эти разложения в выражение (V), приравниваем .

Но - линейно-независимая система.

однородных уравнений, неизвестных ,

Такая система нетривиально совместна : система является линейно-зависимой.

Следствие. В линейном пространстве любой базис состоит из одного и того же числа векторов.

Доказательство. Пусть у нас два базиса: и . Предположим . Тогда по теореме - линейно-зависима, чего не может быть, так как - базис не меньше .

Аналогично доказывается, что не меньше .

Следовательно

Определение 5. Размерностью линейного пространства называется число векторов в базисе. Если можно указать линейно-независимых векторов, то говорят, что пространство

бесконечномерно: .

Примеры.

1. - матрицы , - алгебраические операции.

- линейно-независимая

может быть записано, как

2. - пространство многочленов, степени

- линейно независимая.

Возможно только при

- линейно-независимая

- действ. базис

3. - множество функций можно представить как линейно-независимых функций

, , …..

4. - множество сходящихся последовательностей.

…………….

(единица на -ном месте)

5. На плоскости два неколлинеарных вектора образуют базис, в пространстве три неколлинеарных вектора образуют базис.

п.3. Переход к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

Пусть , , базисы

……………………..

Определение. Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису :

Где , .

Утверждение. Матрица перехода не вырождена.

Доказательство:

.

Но - линейно-независимые векторы последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда ,

Замечание. Матрицы и взаимно обратимы.

=

Утверждение. Пусть - координаты в базисах .

Тогда

Доказательство.

- линейно-независимая система ,

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

§ 1. Векторная алгебра.

п. 1. Векторы- направленные отрезки. Линейные операции над векторами.

Определения

1 . . Вектор- направленный отрезок.

2.

3. колинеарны будучи приведенными к общему началу, лежат на одной прямой.

4. компланарны будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.

5. , если они имеют одинаковые направления и длины.

6 . Вектор , построенный по правилу треугольника или параллелограмма называется суммой векторов .

правило треугольника правило параллелограмма

Определение. Произведением на число назовем вектор

1.

2.

3.

Свойства линейных операций над векторами.

1.

2.

3. ( + ) = +

4.

5.

6. : + =

7.

8.

Вывод. Множество векторов- направленных отрезков с операциями как дано в определениях, является линейным пространством.

Для пространства направленных отрезков справедливы все теоремы, доказанные для общего случая.

п.2. Линейная зависимость векторов.

Базис. Базисы на прямой, на плоскости, в пространстве.

Определение 1. Векторы образуют линейно-зависимую систему, если существуют :

Определение 2. образуют базис, если

1). - линейно-независимая система

2). можно записать в виде: (разложение базиса)

Утверждение 1. - линейно-зависимая система хотя бы один из них выражается линейным образом через другие.

Утверждение 2. Пусть среди есть , тогда - линейно-зависимая.

Утверждение 3. Пусть среди есть линейно-зависимая подсистема , тогда

- линейно-зависимая система.

Утверждение 4. Пусть - линейно-зависимая, . Тогда и колинеарны.

Доказательство:

1. Пусть - линейно- зависимы

сонаправлены.

противоположно направлены.

2. Пусть - коллинеарны линейно-зависимые.

Утверждение 5. три вектора на плоскости линейно-зависимые.

Доказательство.

1). колинеарны смотри утверждение 4.

2). Среди нет коллинеарных.

- линейно-зависимая система.

- линейно-зависимая система

Утверждение 6. некомпланарные линейно-независимы.

Доказательство.

. Пусть - компланарны. Докажем, что линейно-зависимы.

- линейно-зависимы. Среди нет коллинеарной пары.

Если же среди два вектора коллинеарны, то линейно-зависимы в силу утверждения 5.

. Пусть линейно-зависимы. Тогда хотя бы один из векторов, например должен линейно выражаться через другие.

- компланарная тройка.

Утверждение 7. Любые 4 вектора в пространстве линейно-зависимы.

Доказательство.

1. Пусть компланарны линейно-зависимы - линейно-зависимая система.

2. Пусть среди нет компланарной тройки. Достроим параллелепипед на векторах так, что вектор является диагональю.

линейно зависимая система.

Определение 1. Вектор , называется базисом на прямой L, если вектор , || может быть записан в виде (1).

Определение 2. Два линейно независимых вектора , лежащие в плоскости , называются базисом на плоскости Р, если вектор , лежащий на плоскости можно записать в виде . (2)

Определение 3.Три линейно независимых вектора называются базисом в пространстве, если вектор может быть записан в виде (3)

Правые части соотношений (1), (2), (3) называются разложением вектора по базису .

Числа называются координатами вектора в базисе.

Теорема 1.

1). Любой ненулевой вектор , , образует базис на прямой .

2). два неколлинеарных вектора , лежащие в плоскости , образуют базис.

3). три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.

Справедливость следует из утверждений 1-7.