ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 2) (Лекции (ворд)), страница 2

Теорема 2.

1). Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат.

2). При умножении вектора на число, его координаты умножаются на это число.

Доказательство:

Повторить доказательство аналогичной теоремы из темы «линейные пространства».

Теорема 3. Разложение по базису единственно.

Доказательство.

Повторить доказательство аналогичной теоремы из темы «линейные пространства».

п.3. Проекции вектора на ось. Векторная проекция. Скалярная проекция.

. Фиксируем направление получим ось

,

=

- векторная проекция вектора на ось .

Обозначим через - угол между вектором и осью .

Если , то скалярной проекцией вектора на ось назовём

Е сли же , то скалярной проекцией вектора на ось назовём

Свойства проекций.

1 . Проекция суммы векторов равна сумме проекций.

.

Аналогично поступим в случае другого чертежа.

2 .

п.4. Декартова система координат. Координаты точки. Длина вектора. Направляющие косинусы.

Фиксируем точку - начало координат.

Фиксируем также векторы , такие что:

1). , ,

2).

3). - правая тройка.

Определение. Тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору совершается против часовой стрелки, если наблюдать этот поворот из конца вектора . В противном случае тройка называется левой.

Правая тройка.

Проведем через точку прямые, сонаправленные с . Получаем оси .

Тем самым мы ввели декартову систему координат с началом в точке .

Декартова система координат = т. , ,

Пусть - произвольная точка пространства. Строим в . образуют базис в пространстве:

Числа назовём декартовыми координатами.

Точка

Пусть , , .

- прямоугольный,

Аналогично:

Направляющие косинусы вектора :

Пусть - произвольный вектор. ,

(расстояние между точками и )

п.5. Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов называется число

Если среди есть хотя бы один нулевой вектор, то скалярное произведение равно нулю.

Обозначение: , ,

Очевидно: .

Свойства векторного произведения.

1. .

2.

3.

4. , причем только если

Доказательство.

1. =

2.

3.

4.

Скалярное произведение в декартовых координатах.

Пусть ,

Тогда

Утверждение.

Доказательство самостоятельно.

=

Векторное произведение и его свойства.

О пределение. Векторным произведением векторов называется вектор :

1).

2). ,

3). - правая тройка

Утверждение (без доказательства).

Тройки , , имеют одинаковую ориентацию.

Свойства.

1. .

2.

3.

4. или равны нулю, либо и коллинеарны.

1,2,4 свойства очевидны. 3-е свойство докажем позднее.

Утверждение.

Векторное произведение в декартовых координатах (только для правой системы координат).

Обозначение:

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением векторов назовём число .

У тверждение. = , где - объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Пусть - правая тройка.

Пусть - левая тройка. Векторы и направлены по разные стороны от плоскости .

Следствие 1.

, , - одинаковой ориентации.

можно обозначать смешанное произведение

при этом говорить, что = =

Следствие 2.

компланарны = 0.

Смешанное произведение в декартовых координатах.

Утверждение.

Доказательство.

{ = , , } = = = .

Следствие. компланарны

Доказательство.

Лемма.

Пусть

Тогда .

Доказательство.

- любой вектор. Возьмём . . Лемма доказана.

Фиксируем произвольный вектор . Хотим доказать, что .

Скалярно домножим левую часть равенства на .

Действительно

Прямая и плоскость в пространстве.

§ 1. Плоскость.

п.1. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

- нормальный вектор.

? ?

(1)- уравнение плоскости

по нормальному вектору и точке.

Раскроем скобки. (2)- общее уравнение плоскости.

Замечание.

Зная уравнение плоскости (2) можно выписать нормальный вектор: .

п .2. Уравнение плоскости по трем точкам. Уравнение плоскости «в отрезках».

- не лежат на одной прямой.

, , - компланарные

уравнение плоскости по трем точкам, не лежащих на одной прямой

Пусть плоскость задана общим уравнением

(4)- уравнение плоскости «в отрезках». , ,

Геометрический смысл уравнения плоскости «в отрезках»:

п.3. Нормированное (нормальное) уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть известно:

1). Единичный нормальный вектор , направленный в сторону

плоскости .

2).

В ведем уравнение плоскости

Строим : ,

Пусть

Очевидно, .

Пусть - произвольная точка пространства.

Пусть

Очевидно, что если

(5)

Уравнение (5)- нормальное (нормированное) уравнение плоскости.

Определение. Пусть плоскость задана нормальным уравнением (5). Тогда выражение

называется отклонением точки от

плоскости .

Утверждение.

, если точки и лежат по разные стороны от плоскости .

- , если точки и лежат по одну сторону от плоскости .

Как привести уравнение вида (2) к уравнению вида (5)?

Доказательство.

Рассмотрим случай, когда точки и лежат по разные стороны от плоскости .

Задача. Как нормировать уравнение плоскости?

Нормирующий множитель:

Задача о расстоянии между точкой и плоскостью.

точки и лежат по одну сторону от плоскости .

Задача о бисектральных плоскостях.

Смотри семенар.

п.4. Взаимное расположение плоскостей.

1. пересекаются, но не совпадают.

не параллелен

неверно.

2.

3. , но не совпадают, , но не совпадают.

Пересечение трех плоскостей в одной.

Существует единственное решение.

|| решений

компланарны не ||

не ||

не ||

не ||