ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСІТЕТ

“ЗАПОРІЗЬКИЙ ІНСТИТУТ ДЕРЖАВНОГО ТА МУНІЦИПАЛЬНОГО УПРАВЛІННЯ”

Кафедра______________________________________________________

“Отримано”

Реєстраційний номер №______

від “___”____________200__м.

Контрольна робота №____

з дисципліни “________________________________________________”

на тему “_____________________________________________________

____________________________________________________________”

Виконав (ла) студент (ка)____ курсу (заочне відділення), групи_______

_____________________________________________________________

(прізвище, ім'я, по батькові)

Перевірив: __________________________________________________

(оцінка, дата, підпис, викладача)

_____________________________________________________________

(прізвище, ім'я, по батькові)

Адреса університету:

Адреса для повідомлення результату контрольної роботи студента:

69002, м. Запоріжжя,

вул. Жуковського, 70-б________________________________________

Тел. 63-99-73

г. Запоріжжя

2006р.

Зміст.

32. Помилки вибіркового спостереження. 3

Задача №28. 10

Задача №41. 12

Задача №58. 15

Задача №77. 18

Література. 20

32. Помилки вибіркового спостереження.

При правильному проведенні вибіркового спостереження характеристики вибірки близькі до відповідних характеристик генеральної сукупності, але вони не збігаються. Пояснюється це наявністю помилки вибірки. Помилкою вибірки називаються деякі розходження характеристик генеральної та вибіркової сукупностей. Вона складається з помилок реєстрації та помилок репрезентативності.

Помилками реєстрації називають такі, які виникають внаслідок отримання неточних або невірних відомостей від окремих одиниць сукупності із-за недосконалості вимірювальних приладів, недостатньої кваліфікації спостерігача, недостатньої точності розрахунку тощо.

Помилки репрезентативності розділяють на систематичні та випадкові. Систематичні помилки репрезентативності виникають внаслідок особливостей прийнятої системи та обробки даних спостереження або з умов недотримання правил відбору у вибіркову сукупність. Вони мають тенденційний характер викривлення величини досліджуваної ознаки в бік її збільшення або зменшення. Такі помилки також повинні бути виключені. Випадкові помилки репрезентативності виникають перш за все через те, що вибіркова сукупність через її малий обсяг не завжди точно відтворює характеристики генеральної сукупності. Тому цей вид помилок є основним, і завдання вибіркового методу полягає в отриманні таких вибіркових характеристик , які б якомога точніше відтворювали характеристики генеральної сукупності, тобто давали найменші помилки репрезентативності.

Теорія вибіркового методу полягає в знаходженні середньої величини помилки репрезентативності та можливих її меж при різних способах утворювання вибіркової сукупності. Для кожного конкретного вибіркового спостереження значення помилки репрезентативності здійснюється за відповідними формулами.

Для узагальнюваної характеристики похибки вибірки розраховують середню похибку репрезентативності µ, її називають стандартом.

Для вивчення середньої похибки репрезентативності власне випадкової і механічної вибірки застосовують певні формули (табл. 1.1).

Таблиця 1.1

Середня похибка репрезентативності µ.

де σ² – середній квадрат відхилень у вибірці; n – чисельність вибіркової сукупності; N – чисельність генеральної сукупності; - частка обстеженої частини вибіркової сукупності; - необстежена частина генеральної сукупності; W – частка одиниць, які мають дану ознаку; 1- W – частка одиниць, які не мають даної ознаки.

Без повторний відбір гарантує більш точніші результати, оскільки він виключає можливість обстеження одних і тих самих одиниць при відборі з генеральної сукупності.

Для узагальнюваної характеристики похибки вибірки поряд із середньою розраховують і граничну похибку вибірки. Стверджувати, що дана генеральна середня не вийде за межі середньої похибки вибірки можна лише за певним ступенем імовірності.

Уразі вибіркового спостереження гранична похибка репрезентативності ∆ може бути більшою, чи дорівнювати, або меншою від середньої похибки репрезентативності µ . Тому граничну похибку репрезентативності обчислюють з певною ймовірністю Р, якій відповідає t-разове значення µ. З уведенням показника кратності похибки t формула граничної похибки репрезентативності має вигляд:

де t – коефіцієнт довіри, який залежить від імовірності, з якою гарантується значення граничної похибки вибірки.

Формула граничної похибки вибірки випливає з основних положень теорії вибіркового методу, сформульованих у теоремах ймовірностей, що відображають закон великих чисел.

Однією з головних теорем, які покладено в основу теорії вибіркового методу. є теорема П.Л. Чебишева, за допомогою якої він довів, що імовірністю, скільки завгодно близької до одиниці, можна стверджувати, що при достатньо великому числі незалежних спостережень вибіркова середня буде мало відрізнятися від генеральної середньої при проведенні повторної вибірки.

Академік А.А. Марков довів збереження цієї умови для залежних спостережень (безповторної вибірки). Академік А. М. Ляпунов дослідив, що ймовірність відхилень вибіркової середньої від генеральної середньої при достатньо великому обсязі вибірки та обмеженій дисперсії генеральної сукупності підпорядковується закону нормального розподілу. Ймовірність цих відхилень при різних значеннях t визначається за формулою:

Значення цього інтеграла при різних значеннях t табульовані і наводяться в спеціальних таблицях, наприклад:

t = 1; Р(∆≤µ) = 0,683

t = 2; Р(∆≤µ) = 0,954

t = 3; Р(∆≤µ) = 0,997

t = 4; Р(∆≤µ) = 0,999

Ці показники означають, що з імовірністю 0,683 можна стверджувати, що гранична похибка вибірки не перевищує µ, тобто в 68,3% випадків похибка репрезентативності не виходить за межі ±µ. Інакше, в 683 випадках із 1000 похибка репрезентативності не перевищує одного значення середньої похибки. З імовірністю 0,954 можна стверджувати, що похибка репрезентативності не перевищує 2 ±µ, з імовірністю 0,997 – не перевищить 3±µ. З імовірністю 0,999, тобто дуже близької до одиниці, можна очікувати, що різниця між вибірковою і генеральною середніми на перевищить 4±µ.

Гранична похибка вибірки розраховується за вибірковим спостереженням по-різному, залежно від видів і способів відбору. Вона дає можливість встановити, в яких межах лежить значення генеральної середньої або частки.

Із теореми Чебишева знаходять, що

і

Теорема Бернулі розглядає похибку вибірки для альтернативної ознаки. Стверджується, що при достатньо великому обсязі вибірки в міру його збільшення ймовірність відхилення між частками ознак у вибірковій і генеральній сукупностях наближатиметься до одиниці. Тобто, з імовірністю, скільки завгодно близькою до одиниці, можна стверджувати, що при достатньо великому обсязі вибірки вибіркова частка мало відрізняється від її частки в генеральній сукупності.

Додаючи граничну похибку вибірки до вибіркової частки і віднімаючи її від неї, знаходять межі генеральної частки:

Таким чином ми можемо записати формули для обчислення граничної похибки власне випадкової і механічної вибірки (табл. 1.2),

Табл.. 1.2

Граничні похибки вибірки.

де ∆_х – гранична похибка вибірки середньої; ∆_р – гранична похибка вибірки для частки.

За допомогою формул граничної похибки вибірки можна визначити:

1. довірчі межі генеральної і середньої частки з певною ймовірністю;

2. ймовірність того, що відхилення між вибірковими і генеральними характеристиками не перевищує визначену величину;

3. необхідну чисельність вибірки, яка із заданою ймовірністю забезпечує очікувану точність вибіркових показників.

Під час розрахунків вибіркових характеристик інколи треба визначити ймовірності допуску певної похибки , тобто відхилення від відповідних характеристик генеральної сукупності не більше, ніж на певне задане значення, яке знаходять за формулою граничної похибки.

Під час вибіркового спостереження важливо правильно визначити необхідну чисельність обсягу вибірки, яка з відповідною ймовірністю забезпечує точність результатів спостереження. Надмірна чисельність вибірки призводить до затягнення строків дослідження, зайвої втрати часу і коштів, недостатня ж дає результати з великою похибкою репрезентативності.

Чисельність вибірки залежить від таких факторів:

• варіації досліджуваної ознаки. Чим більша варіація, тим більшою має бути чисельність вибірки і навпаки;

• розміру можливої граничної похибки вибірки. Чим менший розмір можливої похибки, тим більшою має бути чисельність вибірки. За існуючим правилом, якщо похибку потрібно зменшити в три рази, то чисельність вибірки збільшують в дев’ять раз;

• значення ймовірності, з якою гарантуватимуть результати вибірки. Чим більша ймовірність, тим більша має бути чисельність вибірки;

• способу вибору одиниць у вибіркову сукупність.

Визначення необхідної чисельності вибірки залежить від алгебраїчного перетворення формул граничної похибки вибірки при різних способах відбору.

Для власне випадкової і механічної вибірки виведення формул необхідної чисельності вибірки здійснюється в такий спосіб. З формули граничної похибки вибірки для середньої при повторному відборі потрібно визначити чисельність вибірки n. Для цього обидві частини даного рівняння підносимо до квадрата і отримуємо , звідки необхідна чисельність вибірки .

Дана формула є математичним підтвердженням залежності чисельності вибірки від граничної похибки, величини коефіцієнта довіри t і варіації (дисперсії).

Так само виводять формули необхідної чисельності вибірки в разі обчислення частки ознаки при повторному і безповторному відборах (табл. 1.3).

табл. 1.3

Чисельність вибірки n.

Коли відбір одиниць здійснюється з окремих типово однорідних груп, виділених за відповідною ознакою, варіації групових середніх немає, і похибка типової вибірки залежить від середньої величини з групових дисперсій. А тому при типовому відборі в формулах похибок вибірки замість загальної дисперсії слід використовувати середню з групових для середньої - для частки.

Отже, граничну похибку вибірки при типовому відборі розраховують за допомогою певних формул (табл. 1.4).

табл. 1.4