ztm5 (Р.М. Игнатищев, П.Н. Громыко, С.Н. Хатетовский - Курс теоретической механики - статика, кинематика, динамика), страница 2

Тогда, из (б) и (а):

в

;

.

Из (в) и (а):

г

;

.

Например, в случае сферической системы координат:

;

;

.

.

Аналогично получаются математические выражения для и .

105

Проекции скоростей и ускорений можно определять и без наличия отображающих их аналитических выражений. Особенно удобно делать это тогда, когда они получаются длинными - произошедшая компьютеризация общества через численный метод позволяет для определения скоростей и ускорений использовать существенно более простые аналитические выражения для координат.

При использовании численного метода нужно вычислять три значения координаты (положим ) - для интересующего момента времени , для и . В качестве некоторой стандартной величины можно принимать . Если этого окажется недостаточно, что мало- вероятно, можно взять ещё на несколько порядков меньшим.

И так, для , и вычисляются значения, соответственно, , и .

Тогда, в соответствии

с вводившимися понятиями:

По причине малого отличия от , проекция скорости точки в момент времени - (отличия от будут тем меньшими, чем меньше ).

Проекция же ускорения точки на ось в момент времени -

Если по условиям конкретно решаемой задачи ориентировку векторов скоростей и ускорений точек целесообразно осуществлять относительно заданной системы координат (сферической, эллиптической и т.п.), то можно воспользоваться методом, содержащим в своём описании понятия «коэффициенты Ляме» и «подвижные вариационные трёхранники», с чем можно ознакомиться, например, в учебном пособии «Игнатищев Р.М. Кинематика.- Могилёв: ММИ, 1979.- 102с.».

Связь между скоростями (и ускорениями) относительно различных систем отсчёта будет изучаться через раздел - после рассмотрения простых движений твёрдого тела.

Изложение последующего материала целесообразно предварить терминологической справкой: принято различать 5 видов движения тел - поступательное, вращательное (которые называют простейшими), сферическое (может в одних случаях расссматриваться как простое, в других – как сложное) и два сложных движения - плоское и свободное.

106

18. Простые движения твёрдого тела

18.1. Поступательное движение

-

18.1

это движение тела, при котором любой взятый в нём отрезок прямой перемещается параллельно своему начальному положению.

Примеры поступательного движения тел: лифт; вагон (или автомобиль) на прямолинейном участке дороги; движение люльки со скамейками на аттракционе «колесо обозрения» - см. рис.1; движение шатуна в механизме шарнирного параллелограмма - рис.18.2.

Колесо обозрения Механизм шарнирного параллелограмма

Рисунок 18.1 Рисунок 18.2

Замечания:

п

18.2

ри поступательном движении траекторией точки может быть любая линия, в том числе и пространственная;

т

Поршень в теле вращающегося диска

18.3

очки поступательно движуще-гося тела описывают одинако-вые траектории (при наложении совмещающиеся друг с другом);

п

18.4

оступательное движение - понятие относительное,

что иллюстрировано на рис.18.3, где:

1 – подпружиненный поршень; 2 - вращаю-щийся диск; 3 - корпус механизма; поршень относительно диска движется поступательно, относительно корпуса - нет.

З

Рисунок 18.3

акон (о скоростях и ускорениях поступательно движущихся тел):

в

18.5

се точки поступательно движущегося тела имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения.

107

П

К закону об одинаковости скоростей и ускорений

риводим рассуждения, позволяющие теоретическим путём получить закон 5. –

П усть (см. рис.18.4) - радиус-векторы произвольных точек поступательно движущегося тела.

Т.к. , где

( в соответствии с понятиями абсолютно тврдого тела и поступательного его движения), то, после взятия от записанного равенства производной по времени, получаем: .

А

Рисунок 18.4

налогично: и т.д.

Т.к. , то,

после взятия производной по времени от последнего равенства, получаем и равенство ускорений точек Использование ранее изложенных методов для теоретического перехода к закону 18.5 завершено. Итак:

в

18.6

се точки поступательно движущегося тела имеют одинаковую кинематику. Иначе: кинематика поступательного движения сводится к кинематике точки.

18.2. Вращательное движение

-

18.7

это такое движение, когда у тела имеется подмножество частиц, неподвижных во времени относительно какой-либо оси системы отсчёта. Такую ось называют осью вращения.

В

К понятию вращательного движения

рамках рассматриваемого подраздела ось вращения будем обозначать буквой , а её орт - . Примеры вращательных движений: ротор электродвигателя, карусель, дверь и т.п.

При описании вращательного движения полуплоскость системы отсчёта, начинающуюся с оси вращения, называют неподвижной полуплоскостью (или полуплоскостью отсчёта - см. рис.5).

П

Рисунок 18.5

олуплоскость, начинающуюся с оси вращения и связанную с телом, называют подвижной полуплоскостью.

108

18.2.1. Об угловых скоростях и ускорениях

Процесс перемещения подвижной полуплоскости относительно неподвижной называют поворотом тела. Количественной его характеристикой является

у

18.8

гол поворота – это двухранный угол между подвижной и неподвижной полуплоскостями, рассматриваемый как алгебраическая величина - больше нуля тогда, когда мысленное движение в направлении изображающей его круговой стрелки оказывается встречным по отношению к движению конца стрелки часов при условии, что циферблат виден с положительного направления оси вращения.

в

18.9

ектор поворота – это вектор, определяемый из математического выражения: .

у

18.10

гловая скорость ( ) – это кинематическая мера вращательного движения твёрдого тела, определяемая как первая производная по времени от вектора поворота, т.е.

, где

- проекция угловой скорости на ось вращения.

Единицей измерения угловой скорости является радиан за секунду, что в записях обозначают: , либо (редко) - .

В практике чаще частоту вращения оценивают числом оборотов в минуту ( об/мин). Т.к. за одну минуту тело поворачивается на радиан, а за секунду на угол в 60 раз меньший, то

у

18.11

гловая скорость тела (речь идёт о модуле ), выраженная в радианах за секунду, с числом оборотов в минуту связана соотношением

У

18.12

гловое ускорение ( ) – это кинематическая мера вращательного движения твёрдого тела, определяемая как первая производная по времени от угловой скорости, т.е.

, где

- проекция углового ускорения на ось вращения.

109

Единицей измерения углового ускорения является .

Подобно тому, как это делалось при рассмотрении кинематики точки,

принято различать:

если , т.е. - вращение равномерное;

если - вращение переменное

(при - ускоренное; при - замедленное);

если - вращение равнопеременное

(при - равноускоренное; при - равнозамедленное).

18.2.2. О линейных скоростях (иначе: О скоростях

О связи между

и

точек вращательно движущегося тела)

Н а рис.6 изображён стержень, вращающийся вокруг перпендикулярной ему оси .

Т.к. , , то из получается

ф

Рисунок 18.6

18.13

ормула для вычисления модуля скорости точки вращательно движущегося тела - .

Ц

О связи между

и

ентральное место в современном курсе теоретической механики занимает векторный метод. По этой причине выведем формулу, в которой скорости точек вращающегося тела выражаются через угловую его скорость. С этой целью изображаем рис.7, из которого видно, что орты связаны соотношением: .

Т.к. , то .

Учитывая 18.13, получаем:

Рисунок 18.7

.

Но , а .

Поэтому получаем:

110

18.14

- векторная формула, выражающая скорости точек вращательно движущегося тела через угловую его скорость.

18.2.3. О линейных ускорениях

. Итак, получена

в

18.15

екторная формула, выражающая ускорения точек вращательно движущегося тела через угловые скорость и ускорение:

.

Видим, что полное ускорение складывается из 2-х составляющих - ( ) и . Покажем, что это уже известные касательная и нормальная составляющие полного ускорения точки. И действительно:

Т.к. , то получаем, что

к

18.15а

асательная составляющая ускорения определяется формулой:

.

Теперь преобразуем 2-ю составляющую:

.

Итак,

н

18.15б

ормальная составляющая ускорения определяется формулой:

.

О

К правилу взаимо-перехода между прямой стрелкой

и круговой

чевидно, что частицы вращательно движущегося тела, расположенные на отрезке, параллельном оси вращения, имеют одинаковую кинематику (одинаковые скорости и ускорения), т.е.

к

18.16

инематика вращающегося тела сводит-ся к кинематике плоской фигуры.

18.2.4. Об условных обозначениях на рисунках